미사동고1수학과외: 무리함수에 점을 대입해 계수 정하기
미사강변 생활권에서 학교별 내신 일정과 귀가 시간이 다른 만큼, 무리함수 서술형에서는 풀이를 외워 적기보다 주어진 점이 식의 계수와 어떻게 연결되는지 남기는 연습이 필요하다. 특히 식을 얻은 뒤 근거 없이 계수만 적으면 정답식이 맞아도 결정 과정이 드러나지 않는다.
계수는 식 밖에서 정해지지 않는다
무리함수의 형태가
y = a√(x + 1) - 2
이고 그래프가 점 (8, 7)을 지난다고 하자. 이 점의 좌표는 x와 y의 관계에 직접 들어가므로 x=8, y=7을 식에 대입해야 한다.
7 = a√(8 + 1) - 2
7 = 3a - 2
9 = 3a
a = 3
따라서 함수식은 y = 3√(x + 1) - 2이다. 여기서 3은 √ 안의 값을 계산한 결과가 아니라, 점의 y좌표와 식의 나머지 항을 비교해 결정한 계수다.
결과식만 남은 답안에서 빠진 한 줄
실제 풀이에서는 학생이 바로 y = 3√(x + 1) - 2라고 적고 다음 문제로 넘어갔다. 답은 맞았지만, 주어진 점을 대입해 a를 결정한 식이 답안에 없었다. 이 경우 현재 상태는 무리함수의 식과 계산 결과는 연결하지만, 점의 좌표가 계수 결정에 사용되는 순서를 스스로 드러내지 못하는 단계다.
특히 학생은 ‘점 (8, 7)을 식에 넣는다’는 말 없이 √9=3만 계산한 뒤 계수를 적었다. 그러면 왜 a=3인지, 다른 점이 주어졌을 때도 같은 방법을 사용할 수 있는지 확인하기 어렵다.
말로 조건을 밝힌 뒤 계산하기
풀이를 시작하기 전에 다음 문장을 먼저 말하게 한다.
점 (8, 7)이 그래프 위에 있으므로 x=8, y=7을 무리함수 식에 대입하여 a를 정한다.
그다음 식을 한 줄씩 작성한다. 먼저 점의 조건을 반영하고, 그 후 근호를 계산하며, 마지막에 a를 정리한다. 계수를 먼저 추측하거나 기억한 예제의 답을 옮기지 않도록 점의 조건 → 대입 → 근호 계산 → 계수 결정의 순서를 확인한다.
결정한 값은 원래 식에 다시 넣어 검산한다.
y = 3√(8 + 1) - 2 = 3×3 - 2 = 7
계산 결과가 점의 y좌표 7과 같으므로 해당 점을 지나는지 확인된다.
변형된 조건에서 서술형으로 확인하기
같은 구조를 숫자만 바꾼 문제로 확인한다.
y = b√(x - 3) + 1인 함수가 점 (12, 7)을 지날 때 b의 값을 구하고 함수식을 쓰시오.
학생이 다음과 같이 설명하고 적는지 본다.
점 (12, 7)이 그래프 위에 있으므로 x=12, y=7을 대입한다. 7=b√(12-3)+1=b√9+1=3b+1이므로 b=2이다. 따라서 함수식은 y=2√(x-3)+1이다.
마지막으로 원래 식에 x=12를 넣어 2√9+1=7인지 확인한다. 식만 맞히는 것이 아니라 사용한 점의 조건과 계수 결정의 결론을 함께 남기는지가 관찰 기준이다.
주간 학습에서 확인할 풀이 순서
학교 프린트와 교과서 문제를 이어서 풀 때는 현행 문제를 먼저 대입으로 정리한 뒤 필요한 선행 계산인 근호의 값만 확인하게 한다. 이후 문제의 표현이 바뀌어도 학생이 스스로 순서를 조정해 점의 좌표를 먼저 식에 반영하는지 살핀다. 결과식만 적지 않고 조건, 대입식, 계수의 결론까지 남겼다면 새로운 무리함수 문제에도 적용할 수 있는지 확인된 것이다.