망월동고2수학과외에서 확인한 적분식의 첫 줄
“∫2x dx = x²”
망월동의 미사고등학교와 하남고등학교에서 고2 수학 과제를 정리할 때, 이런 첫 줄은 계산 결과만 보면 맞아 보인다. 그러나 부정적분의 답은 하나의 함수가 아니라 여러 원시함수를 나타내므로 ∫2x dx = x² + C라고 써야 한다. 같은 하남시의 미사강변고등학교·신장고등학교·위례고등학교는 참고 학교일 뿐, 망월동 소재 학교로 구분하지 않는다.
적분상수는 왜 반드시 남겨야 하는가
함수 F(x)의 도함수가 2x라면
F(x) = x² + C
이다. 실제로 (x² + C)' = 2x이고, C가 어떤 상수여도 미분하면 0이 된다. 따라서
∫2x dx = x² + C
이며, C를 생략한 x²은 특정 원시함수 하나만 적은 표현이다. 부정적분을 이용해 함수식을 정하거나 그래프의 위치를 비교할 때 이 상수가 빠지면 조건을 반영할 자리가 사라진다.
계수와 부호가 바뀌어도 같은 확인을 먼저 하기
예를 들어 f'(x) = -4x + 3, f(1) = 5일 때는 먼저
f(x) = -2x² + 3x + C
라고 둔다. 이어서 주어진 점을 대입하면
5 = -2(1)² + 3(1) + C = 1 + C
이므로 C = 4이다. 따라서
f(x) = -2x² + 3x + 4
가 된다. 처음부터 적분상수를 쓰지 않으면 f(1)=5라는 조건을 대입할 항 자체가 없어져, 이전 문제의 식을 숫자만 바꾸어 이어 가게 된다.
부정적분과 정적분을 같은 방식으로 읽지 않기
부정적분은 함수 전체를 구하는 과정이고, 정적분은 구간에서의 누적량이다. 예를 들어
∫13 2x dx = [x²]13 = 9 - 1 = 8
이다. 원시함수를 x² + C로 써도
(9 + C) - (1 + C) = 8
처럼 적분상수는 서로 소거된다. 하지만 이것이 부정적분에서 C를 생략해도 된다는 뜻은 아니다. 특히 그래프와 넓이를 연결할 때는 함수의 식과 구간, 그리고 x축 위·아래 위치를 따로 확인해야 한다.
답안 옆 네모 세 칸으로 풀이 방향 고정하기
계수나 부호가 달라진 문제를 만나면 다음 계산 전에 답안에 아래처럼 적는다.
□ 부정적분인가, 정적분인가?
□ 부정적분이면 + C를 썼는가?
□ 넓이를 묻는다면 함수의 부호와 구간을 확인했는가?
예를 들어 ∫(-6x + 2) dx는
-3x² + 2x + C
로 시작하고, 원래 식을 미분해 -6x + 2가 나오는지 확인한다. “적분값”을 묻는지 “넓이”를 묻는지는 마지막에 다시 읽는다.
그래프의 방향을 반대로 바꾼 검증 문제
다음 조건을 혼자 처리해 보며 같은 풀이가 유지되는지 확인한다.
g'(x) = 4x - 4, g(1) = 2
먼저
g(x) = 2x² - 4x + C
이고, 2 = 2 - 4 + C이므로 C = 4이다. 따라서
g(x) = 2x² - 4x + 4 = 2(x - 1)² + 2
이다. g'(x)=4(x-1)이므로 x<1에서는 감소하고 x>1에서는 증가한다. 이전 문제와 그래프 방향이 달라졌지만, 적분상수를 먼저 포함하고 주어진 함수값으로 결정한 뒤 도함수의 부호로 증가·감소를 판단해야 한다. 이 세 단계와 네모 확인 표시가 모두 남아 있을 때 변형 조건에서도 풀이 연결이 이루어진다.