망월동고1수학과외: \(y=-\sqrt{x}\) 그래프가 x축 아래에 놓이는 이유
망월동에서 고1 수학을 공부할 때 \(y=-\sqrt{x}\)의 그래프를 단순히 외워 그리는 것과, 왜 x축 아래로 내려가는지 설명하는 것은 다르다. 미사고등학교와 하남고등학교의 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 계산이 끝난 뒤 그래프의 조건을 다시 확인하는 짧은 과정이 빠지기 쉽다.
점 하나를 계산하고도 확인하지 않은 부호
\(y=\sqrt{x}\)에서 \(x\ge 0\)이다. 예를 들어 \(x=9\)이면 \(y=3\)이므로 점 \((9,3)\)을 얻는다. 그런데 식이 \(y=-\sqrt{x}\)로 바뀌면 같은 \(x=9\)에서
\[ y=-\sqrt{9}=-3 \]
이 되어 점은 \((9,-3)\)이 된다. 따라서 \(x\)의 값은 그대로 양수 쪽에 놓이지만, \(y\)값은 항상 \(0\) 이하이다. 그래프는 \((0,0)\)에서 시작해 오른쪽 아래로 향한다.
제곱근 \(\sqrt{x}\) 자체는 음수가 아니지만, 식 앞의 음수는 그 결과 전체에 곱해진다.
답안에서 빠진 한 줄
학생은 \(x=1,4,9\)를 대입해 \(y=-1,-2,-3\)을 계산한 뒤 곧바로 그래프를 그렸다. 계산값만 보면 일부 점은 정확했지만, 답안과 여백 어디에도 “\(y=-\sqrt{x}\)는 \(y=\sqrt{x}\)의 y좌표에 \(-1\)을 곱한 것”이라는 확인이 없었다. 그 결과 \(y=\sqrt{x}\)와 같은 방향으로 곡선을 올려 그리는 오답이 나타났다.
빠진 위치는 점을 계산한 다음, 곡선의 방향을 결정하기 직전이다. 이때 \(x\ge0\), \(y\le0\)를 함께 적어야 한다. \(x=0\)에서는 \(y=0\)이고 \(x>0\)에서는 \(y<0\)이므로, 원점을 제외한 그래프가 x축 위에 있을 수 없다는 판단까지 연결된다.
식의 변환으로 그래프 위치를 고정하기
기본 그래프 \(y=\sqrt{x}\) 위의 점을 \((a,b)\)라고 하면 \(b=\sqrt{a}\)이고 \(b\ge0\)이다. \(y=-\sqrt{x}\)에서는 같은 \(a\)에 대해 \(y=-b\)가 되므로 점이 \((a,-b)\)로 바뀐다. 즉 x축에 대한 대칭이다.
예를 들어 \(y=\sqrt{x}\)의 점 \((16,4)\)는 \(y=-\sqrt{x}\)에서 \((16,-4)\)가 된다. 이 관계를 이용하면 점 몇 개를 외워 그리는 대신, 원래 그래프의 y좌표 부호가 반대로 바뀐다는 이유를 설명할 수 있다.
괄호가 생기면 문자 부분부터 구분하기
이해 여부를 확인할 때는 식의 모양을 바꾼다. 다음 두 식을 비교해 보자.
\[ A=-\sqrt{x}+2\sqrt{x},\qquad B=-\bigl(\sqrt{x}-2\sqrt{x}\bigr) \]
\(A\)에서는 두 항의 문자 부분이 모두 \(\sqrt{x}\)이므로 계수만 계산해 \(A=(-1+2)\sqrt{x}=\sqrt{x}\)이다. 반면 \(B\)에서는 괄호 앞의 \(-\)가 괄호 안 각 항의 부호를 바꾸므로
\[ B=-\sqrt{x}+2\sqrt{x}=\sqrt{x} \]
가 된다. 숫자나 부호의 겉모양만 보고 판단하지 않고, 동류항인지 먼저 문자 부분을 비교한 뒤 괄호의 부호를 처리해야 한다.
새 조건에서 확인하는 방법
훈련 문제는 \(y=-\sqrt{x}\) 대신 \(y=-\bigl(\sqrt{x}-2\sqrt{x}\bigr)\)로 제시한다. 학생이 먼저 괄호를 정리해 \(y=\sqrt{x}\)를 얻고, \(\sqrt{x}\)의 정의역 \(x\ge0\)과 치역 \(y\ge0\)를 말하는지 확인한다. 여기서는 원래 식과 달리 최종 그래프가 x축 아래가 아니라 위에 놓인다.
또한 시험 직전 새 교재를 추가하기보다 이 변형 문제의 풀이와 설명이 끝났는지 먼저 판단한다. 식의 괄호를 풀고, 동류항의 기준을 문자 부분으로 제시하며, 최종 부호에 따라 그래프 위치를 결정했다면 해당 개념을 적용한 것으로 볼 수 있다. 계산만 끝내고 설명이 남아 있다면 미완료로 기록한다.