망월동 고3수학과외: 미분 조건과 수열의 극한을 함께 검산하기
망월동에는 2025년 주소 기준 미사고등학교와 하남고등학교가 있으며, 같은 하남시의 미사강변고등학교·신장고등학교·위례고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교 선택보다 귀가 뒤 과제량과 시험 준비 순서를 점검할 때는, 한 단원의 풀이 순서를 다른 문제에 기계적으로 적용하지 않는 습관이 중요하다.
미분으로 얻은 후보를 극한 조건으로 다시 걸러내기
다음 문제에서 학생은 미분 조건만 처리한 뒤 얻은 두 값을 모두 정답 후보로 남겼다.
함수 fa(x)=x3+(a2-5a+6)x가 x=0에서 극값을 가질 때, 수열 un=(a-2)n의 극한이 0이 되도록 하는 실수 a를 구하여라.
먼저 도함수는
fa'(x)=3x2+a2-5a+6
이므로
fa'(0)=a2-5a+6=(a-2)(a-3)=0
에서 a=2 또는 a=3을 얻는다. 여기까지는 미분 조건에 맞는 후보를 찾은 것이다.
학생의 오답은 다음과 같았다.
오답: a=2, 3
두 값 모두 미분 조건을 만족하므로 정답이다.
이 식은 틀렸다. 문제에는 미분 조건뿐 아니라 un→0이라는 수열 조건도 있다. a=2이면 un=0이므로 극한은 0이다. 그러나 a=3이면 un=1이어서 극한은 1이지 0이 아니다.
조건을 적고 후보를 직접 대입하는 수정 과정
- 틀린 줄 표시: “미분 조건을 만족하는 두 값을 모두 정답으로 확정한다.”
- 변수 관계 확인: 미분은 후보를 만들고, 수열의 극한은 후보의 허용 여부를 결정한다.
- 식 수정: a=2일 때 (a-2)n=0, a=3일 때 (a-2)n=1로 대입한다.
- 역검산: 선택한 a=2를 원래 함수에 넣으면 f2(x)=x3이고 f2'(0)=0이다. 동시에 un=0이므로 극한 조건도 만족한다.
따라서 정답은 a=2이다. 핵심은 미분 계산의 순서가 아니라, 미분으로 얻은 후보를 수열의 수렴 조건에 다시 통과시키는 것이다.
경계값을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 조건을 바꾸어 확인한다.
ga(x)=x3+(a2-7a+12)x가 x=0에서 극값을 갖고, vn=(a-3)n이 0으로 수렴한다고 하자.
ga'(0)=a2-7a+12=(a-3)(a-4)=0이므로 후보는 a=3,4이다. 이후 경계값을 직접 넣으면 a=3에서는 vn=0이지만, a=4에서는 vn=1이다. 따라서 새 조건의 정답은 a=3이다.
망월동 고3수학과외 학습에서는 중간식 옆에 ‘미분 후보’, ‘극한 허용 조건’처럼 사용 규칙을 짧게 적고, 경계값을 원식에 직접 넣어 확인하는 방식이 효과적이다.