덕풍동고2수학과외, 적분식을 쓰기 전 구간과 부호부터 확인하는 장면
덕풍동의 남한고등학교와 풍산고등학교에서 고2 수학을 공부하는 학생도 주간 프린트와 지필평가 풀이를 정리하다 보면, 정적분과 부정적분을 같은 방식으로 시작하는 실수를 보일 수 있다. 풍산지구나 덕풍쌍용아파트·덕풍현대아파트 생활권처럼 귀가 시간과 학습 일정이 서로 다른 환경에서도 먼저 살필 것은 문제의 적분 기호와 구간, 함수의 부호다.
구간이 없는 적분과 구간이 있는 적분은 답의 형태가 다르다
부정적분은 원시함수 전체를 구하는 것이므로 적분상수 \(C\)가 필요하다.
\[ \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C \]
반면 정적분은 구간이 정해진 하나의 값이다.
\[ \int_{-1}^{2}x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} =\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=3 \]
풀이 첫 줄에서 구간과 부호를 표시하지 않으면, 정적분을 부정적분처럼 처리하거나 넓이와 적분값을 혼동하기 쉽다. 특히 \(x^2\)는 구간 전체에서 음수가 아니므로 이 정적분값은 양수지만, 함수가 항상 양수라고 미리 단정해서도 안 된다.
새 지수 3으로 나누지 않은 오답을 미분으로 되돌려 보기
다항함수의 부정적분 문제에서 다음과 같은 답이 적혀 있었다.
\[ \int x^2\,dx=\frac{x^3}{2}+C \]
지수를 2에서 3으로 바꾸는 것까지는 보였지만, 새 지수 3으로 나누지 않은 식이다. 이 식을 미분하면
\[ \left(\frac{x^3}{2}+C\right)'=\frac{3}{2}x^2 \]
가 되어 원래 integrand인 \(x^2\)로 돌아오지 않는다. 따라서 거듭제곱 적분법
\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1) \]
을 적용하면 정확한 결과는 \(\frac{x^3}{3}+C\)이다. 마지막에 미분하여 원래 함수를 복원하는 검산을 답안에 남기면 계수 오류를 즉시 발견할 수 있다.
부호가 바뀐 함수에서는 정적분값과 넓이를 분리한다
다음 식은 앞의 예와 달리 함수값이 음수인 경우다.
\[ \int_{-2}^{1}(x-1)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^{1} =-\frac12-4=-\frac92 \]
이는 정적분값이며, 그래프와 \(x\)축 사이의 넓이는 \(\frac92\)이다. 학생이 부호를 없애고 처음부터 \(\frac92\)라고 쓰면 넓이를 묻는 문제에서는 맞을 수 있어도 정적분을 묻는 문제에서는 틀린다. 식을 계산한 뒤 함수가 어느 구간에서 \(x\)축 위·아래에 있는지 확인해야 한다.
적분 기호 옆에 남기는 세 가지 표시
풀이를 시작할 때 적분 종류, 구간, 함수의 부호를 짧게 기록한다.
- \(\int f(x)\,dx\): 부정적분이므로 \(+C\)를 쓴다.
- \(\int_a^b f(x)\,dx\): 끝값 대입으로 정적분값을 구한다.
- 넓이를 묻는다면 \(f(x)\)의 부호와 \(x\)축과의 위치를 확인한다.
그리고 결과를 미분한다. 예를 들어 \(\frac{x^3}{3}+C\)를 미분하면 \(x^2\)가 복원되므로 계수와 지수 처리가 모두 맞다.
부호를 바꾼 독립 확인
이번에는 \(\int_{-1}^{1}(-2x^2)\,dx\)를 계산한다.
\[ \int_{-1}^{1}(-2x^2)\,dx =\left[-\frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{1} =-\frac23-\frac23=-\frac43 \]
함수 \(-2x^2\)가 구간 전체에서 \(x\)축 아래에 있으므로 정적분값은 음수다. 원시함수를 미분해 \(-2x^2\)가 복원되는지 확인하고, 넓이를 묻는다면 그 절댓값인 \(\frac43\)을 구별해 적어야 한다. 구간과 부호가 달라져도 적분상수, 새 지수로 나누기, 역미분 검산의 순서를 유지하는지가 확인 지점이다.