덕풍동고1수학과외: 근호함수의 시작점 \((p,q)\) 읽기
덕풍동고1수학과외에서 \(y=\sqrt{x-p}+q\)를 다룰 때는 그래프를 그리기 전에 근호 안의 식과 바깥 상수를 분리해 읽는 과정이 필요하다. 이 함수의 그래프는 \(y=\sqrt{x}\)를 오른쪽으로 \(p\), 위쪽으로 \(q\)만큼 평행이동한 것이므로 시작점은 \((p,q)\)이다.
\(x-p=0\)에서 시작점이 결정된다
예를 들어
\(y=\sqrt{x-4}-3\)
에서는 근호 안이 0이 되는 값을 먼저 찾는다.
\(x-4=0\)이므로 \(x=4\)이고, 이때 \(y=\sqrt{0}-3=-3\)이다. 따라서 시작점은 \((4,-3)\)이다. 정의역도 \(x-4\ge 0\)에서 \(x\ge4\)로 정해진다.
근호 안을 0으로 만드는 \(x\)가 가로좌표이고, 근호 바깥의 상수 \(q\)가 세로좌표다.
학생의 오답은 부호를 읽는 위치에서 생겼다
학교 프린트의 \(y=\sqrt{x+5}+2\) 문제에서 학생은 근호 안이 0이 되는 \(x\)를 계산하지 않고, 식의 \(+5\)를 그대로 읽어 시작점을 \((5,2)\)로 표시했다. 실제로는
\(x+5=0\Rightarrow x=-5\)
이므로 시작점은 \((-5,2)\)이다. 학생이 적은 \((5,2)\)는 정답이 아니라 부호를 잘못 읽은 오답이다. \(x+5\)는 \(x-(-5)\)와 같기 때문에 그래프가 왼쪽으로 5만큼 이동한다.
정답을 다시 쓰기보다 식에서 좌표를 뽑는 순서
수정할 때는 답을 베껴 적지 않고, 문제 옆에 다음 두 줄만 작성한다.
- 근호 안 \(x+5=0\Rightarrow x=-5\)
- 바깥 상수 \(q=2\Rightarrow y=2\)
이 행동을 적용하면 \(y=\sqrt{x+5}+2\)의 시작점은 \((-5,2)\), 정의역은 \(x\ge-5\)라고 함께 결정된다. 시작점에서 오른쪽으로 1만큼 이동하면 \(y=3\), 오른쪽으로 4만큼 이동하면 \(y=4\)이므로 \((-4,3)\), \((-1,4)\)도 그래프 위의 점이다.
덕풍동의 남한고등학교와 풍산고등학교처럼 학교별 내신 일정이 다를 수 있고, 풍산지구나 덕풍동 주거지에서 귀가한 뒤 확보되는 시간이 짧을 수도 있다. 이때 오답노트에는 긴 해설 대신 “근호 안을 0으로 만들어 \(x\)좌표를 구한다”라는 바뀐 행동 한 가지를 남기고, 실제 식에 바로 적용하는 편이 효율적이다. 미사강변고등학교·미사고등학교·신장고등학교는 같은 하남시의 참고 학교일 뿐 덕풍동 소재 학교로 구분하지 않는다.
조건이 붙은 자료에서도 시작점을 찾아내는지 확인하기
다음과 같이 조건을 추가한 문장제에서 식을 제시한다.
“온도를 \(x\)분 동안 측정했을 때 변화량을 \(y=\sqrt{x-9}+1\)로 나타냈다. 아래 표의 제목은 ‘측정 시간 \(x\)(분)에 따른 변화량 \(y\)(℃)’이다. 변화가 시작되는 시각과 그때의 변화량을 구하여라.”
| 측정 시간 \(x\)(분) | 9 | 10 | 13 |
|---|---|---|---|
| 변화량 \(y\)(℃) | 1 | 2 | 3 |
표의 제목과 단위를 먼저 읽으면 \(x\)는 시간, \(y\)는 변화량이다. 식에서 \(x-9=0\)을 풀어 \(x=9\), 바깥 상수에서 \(y=1\)을 읽으므로 시작점은 \((9,1)\)이다. 그림이나 표의 모양이 달라져도 ‘근호 안이 0이 되는 입력값’과 ‘바깥 상수’를 찾는지 확인한다.
숫자와 표현을 바꾼 마지막 점검
검증 문제로 \(y=\sqrt{x-7}-4\)를 제시하고, 학생이 시작점을 먼저 말하지 않은 채 그래프를 그리는지 살핀다. \(x-7=0\)에서 \(x=7\), \(q=-4\)이므로 시작점은 \((7,-4)\)이고 정의역은 \(x\ge7\)이다. 좌표를 \((-7,-4)\)로 쓰거나 \(q\)를 \(4\)로 바꾸어 쓰면 각각 가로 이동의 부호와 세로 이동의 부호를 다시 점검해야 한다.