덕풍동고3수학과외

덕풍동 고3수학과외: 넓이 조건과 극값 조건을 분리해 푸는 연습

덕풍동의 남한고등학교와 풍산고등학교 학생들은 학교별 내신 운영과 주간 일정이 다를 수 있어, 같은 개념도 풀이 순서를 학생의 학습 흐름에 맞춰 점검할 필요가 있다. 이 학생은 정적분의 넓이와 함수의 극값을 한 번에 처리하려다 조건의 역할을 섞는 오류를 보였다.

틀린 중간식에서 드러난 조건 혼동

함수 f_a(x)=x³-3ax²에서 a>0이고, 그래프와 x축이 0≤x≤2a에서 만드는 넓이가 4일 때 극솟값의 x좌표를 구하는 문제를 풀었다.

학생은 먼저

−∫₀^2a f_a(x)dx = f_a(2a) = 4

라고 적었다. 이 식은 오답이다. 왼쪽은 그래프와 축 사이의 넓이이고, 오른쪽은 함수가 극값을 갖는 점의 함수값이므로 서로 같은 양이라고 볼 근거가 없다. 실제로 f_a(2a)=−4a³이므로 위 식은 4a⁴=−4a³, 즉 a=−1을 만들며 조건 a>0에도 어긋난다.

조건이 작동하는 순서를 다시 세우기

• 극값 조건: f_a'(x)=3x(x−2a)이므로 임계점은 x=0, 2a이다.
• 0<x<2a에서 도함수는 음수이고, x>2a에서 양수이므로 x=2a가 극솟값의 위치이다.
• 넓이 조건: 구간 안에서 f_a(x)=x²(x−3a)≤0이므로 넓이는 적분값에 마이너스를 붙인다.

따라서

∫₀^2af_a(x)dx = [x⁴/4−ax³]₀^2a = 4a⁴−8a⁴ = −4a⁴

이므로 넓이는 4a⁴이다. 넓이가 4이므로 4a⁴=4, a>0에서 a=1이다. 극솟값의 x좌표는 앞서 구한 2a이므로 정답은 2이다.

답안에서 진행한 검산

틀린 줄에 밑줄을 긋고 ‘넓이’와 ‘함숫값’을 분리한 뒤, 먼저 도함수의 부호표를 작성했다. 이후 a=1을 원래 함수에 대입하면 f(x)=x³−3x²이고,

−∫₀²(x³−3x²)dx = −(4−8)=4

가 되어 넓이 조건을 만족한다. 또한 f'(x)=3x(x−2)는 x=2 전후에서 음수에서 양수로 바뀌므로 해당 점이 극솟점임을 역으로 확인했다.

경계를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고, g_b(x)=x³−6bx², b>0의 그래프와 x축이 0≤x≤4b에서 만드는 넓이가 64일 때 극솟값의 x좌표를 확인했다.

g_b'(x)=3x(x−4b)이므로 극솟점의 위치는 x=4b이다. 또 해당 구간에서 함수가 음수이므로

넓이 = −∫₀^4b(x³−6bx²)dx = −[x⁴/4−2bx³]₀^4b = 64b⁴

이다. 64b⁴=64, b>0에서 b=1이고, 극솟값의 x좌표는 4이다. 이 검증에서도 넓이로 매개변수를 먼저 정한 뒤 극값 위치를 결정해야 한다.