감일동고2수학과외

감일동고2수학과외, 적분 기호에서 시작된 한 줄의 오류

감일지구에서 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 조정하다 보면, 다항함수 적분을 풀이한 뒤 정적분과 넓이까지 연결해 확인할 시간이 부족해지기 쉽다. 감일동 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 감일고등학교·미사강변고등학교 등 하남시 통학권 참고 학교의 학습 일정에 맞춰 다음과 같은 풀이 장면을 점검할 수 있다.

∫x²dx에서 새 지수 3을 놓친 답안

변형 문제를 풀던 답안에 다음 식이 적혀 있었다.

∫x²dx = x³/2 + C

오류는 지수를 1만큼 올린 뒤, 새 지수인 3으로 나누지 않은 데 있다. 실제로

∫x²dx = x³/3 + C

이고, 이를 미분하면 (x³/3)'=x²가 되어 원래 피적분함수로 돌아온다. 반면 (x³/2)'=3x²/2이므로 올바른 부정적분이 아니다.

계수와 부호가 바뀌어도 중간식을 남기는 연습

예를 들어

∫(−3x²+4x−5)dx

를 계산할 때는 처음 어긋난 기호인 적분식을 표시한 뒤, 항별로 지수와 새 계수를 바로 적는다.

∫(−3x²+4x−5)dx
= −3·x³/3 + 4·x²/2 − 5x + C
= −x³ + 2x² − 5x + C

각 항을 미분하면 −3x²+4x−5가 된다. 이처럼 답만 고치는 대신 처음 바뀌는 지점 아래에 올바른 중간식을 다시 쓰면, 계수·부호·지수가 함께 변하는 문제에서도 적분값을 확인할 수 있다.

부정적분과 넓이를 같은 기호로 섞지 않기

부정적분의 결과는 함수족이므로 +C가 필요하다. 반면 구간이 정해진 정적분은 원시함수의 끝값 차로 계산한다.

∫₀²(x²−1)dx = [x³/3−x]₀² = 8/3−2 = 2/3

이 값은 정적분값이다. 함수 y=x²−1은 x=1에서 x축을 지나므로, 기하적인 넓이를 묻는다면 구간을 나누어야 한다.

넓이 = −∫₀¹(x²−1)dx + ∫₁²(x²−1)dx = 2/3 + 2/3 = 4/3

따라서 정적분값 2/3과 넓이 4/3은 같지 않다. 부정적분을 정확히 구한 뒤에도 함수의 부호와 구간을 다시 연결해야 한다.

구간을 좁힌 검증에서 조건의 교집합 확인하기

마지막으로 다음 문제를 별도의 풀이로 제시한다.

0≤x≤1에서 y=2x−x²와 x축이 이루는 넓이를 구하여라.

먼저 2x−x²=x(2−x)이고, 주어진 구간에서는 함수가 음수가 아니므로 구간을 나눌 필요가 없다.

∫₀¹(2x−x²)dx = [x²−x³/3]₀¹ = 1−1/3 = 2/3

이때 답안에 ∫x²dx=x³/2가 다시 나타나지 않고, 부정적분의 올바른 중간식과 주어진 범위 안의 부호를 함께 확인했다면 새로운 계수와 좁은 구간에서도 적분과 넓이의 연결이 유지된 것이다.