감일동 고3수학과외에서 다룬 정적분과 극값의 조건 연결
감일동은 하남 감일지구 중심 생활권으로, 감일고등학교를 비롯해 하남시 내 여러 고등학교의 통학권을 참고할 수 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면서 한 문제를 계산보다 조건 해석 중심으로 점검했다.
그래프를 먼저 복사한 것이 만든 부호 오류
다음 함수의 극값과 넓이를 구하는 문제를 풀었다.
F(x)=∫0x(t-2)(t-3)dt, 0≤x≤4
학생은 직전 문제의 그래프 모양을 그대로 옮긴 뒤 다음과 같이 적었다.
F′(x)=(x-2)(x-3)≥0이므로 F는 [0,4]에서 증가한다. 따라서 최댓값은 F(4)=16/3이고, 곡선과 x축 사이의 넓이도 16/3이다.
이 식은 틀렸다. (x-2)(x-3)는 0≤x<2와 3<x≤4에서 양수지만, 2<x<3에서는 음수이다. 따라서 F는 x=2에서 증가하다 감소하고, x=3부터 다시 증가한다. 부호 조건을 확인하지 않고 이전 그래프를 재사용한 것이 핵심 오류다.
첫 조건부터 다시 표시한 풀이
먼저 학생의 오답 줄에 밑줄을 긋고, 도함수와 영점의 관계를 확인했다.
- F′(x)=(x-2)(x-3)
- F′(x)>0: 0≤x<2, 3<x≤4
- F′(x)<0: 2<x<3
따라서 F는 x=2에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖는다. 원시함수는
F(x)=x3/3-5x2/2+6x
이므로
- F(2)=14/3
- F(3)=9/2
- F(4)=16/3
구간별 부호를 반영한 넓이는 단순한 정적분이 아니다.
∫02f(x)dx=14/3, ∫23f(x)dx=-1/6, ∫34f(x)dx=5/6
따라서 넓이는
14/3+1/6+5/6=17/3
반면 부호를 포함한 정적분은 F(4)-F(0)=16/3이다. 학생은 두 값을 구분하지 못했으며, 경계값과 구간별 부호를 대입해 확인한 뒤에야 넓이와 정적분이 다를 수 있음을 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제로 검증했다.
G(x)=∫0x(t-1)(t-5)dt, 0≤x≤6에서 극값과 곡선 및 x축 사이의 넓이를 구한다.
G′(x)=(x-1)(x-5)이므로 부호는 양수, 음수, 양수로 바뀐다. 따라서 x=1에서 극댓값, x=5에서 극솟값이다.
G(x)=x3/3-3x2+5x이고, G(1)=7/3, G(5)=-25/3, G(6)=-6이다. 구간별 넓이는
7/3+32/3+7/3=46/3
이며 부호를 포함한 정적분은 G(6)-G(0)=-6이다. 이번에는 이전 극값을 재사용하지 않고 영점, 부호표, 경계값, 넓이와 정적분을 차례로 이중 검산했다.