감일동고1수학과외: 무리함수 평행이동과 대응점 읽기
감일지구에서 학교 프린트와 교과서의 표현이 달라질 때, 무리함수의 식만 계산하고 그래프의 이동을 표시하지 않으면 같은 개념을 다른 문제에 옮기기 어렵다. 특히 평행이동은 기본 그래프의 기준점이 어디로 옮겨졌는지 확인해야 식과 그래프가 일치한다.
기본 그래프의 점이 어디로 움직였는가
기본 함수 y=√x의 그래프는 정의역이 x≥0이고, 시작점은 (0, 0)이다. 다음 함수는
y=√(x-3)+2
기본 그래프를 오른쪽으로 3, 위로 2만큼 평행이동한 것이다. 따라서 기본 그래프의 시작점 (0,0)은 (3,2)로 이동한다. 정의역도 식에서 바로 확인할 수 있다.
x-3≥0 → x≥3
예를 들어 기본 그래프의 점 (1,1)은 (4,3)으로, (4,2)는 (7,4)로 옮겨진다. 모든 x좌표에 3을 더하고 모든 y좌표에 2를 더하는 대응 관계가 유지된다.
계산은 했지만 빠져 있던 한 줄
감일동 학생의 풀이에는 y=√(x-3)+2를 보고 곧바로 정의역과 값을 계산한 흔적은 있었지만, 기본 그래프와 대응점을 표시한 줄이 없었다. 즉, ‘오른쪽 3, 위쪽 2’라는 이동을 확인하지 않은 채 다음 풀이로 넘어간 것이다.
기본점 (0,0) → (3,2), 정의역 x≥3
이 한 줄이 없으면 y=√(x+3)+2를 보고도 오른쪽 이동으로 잘못 판단할 수 있다. 실제로 y=√(x+3)+2는 왼쪽으로 3, 위로 2만큼 이동한 함수이며 시작점은 (-3,2)이다.
오답 줄에서부터 다시 그리는 절차
오답을 수정할 때는 답을 지우고 처음부터 많은 계산을 반복하지 않는다. 평행이동을 확인해야 했던 위치에 다음 내용을 먼저 적는다.
- 기본 함수: y=√x
- 식의 변화: x-3이므로 오른쪽 3
- 상수의 변화: +2이므로 위쪽 2
- 대응점: (0,0)→(3,2)
- 정의역: x≥3
그 뒤 x=4를 대입하면 y=√1+2=3이므로 점 (4,3)을 얻는다. 이 점은 대응점 계산과 식의 대입 결과가 일치하는지 확인하는 역할을 한다.
표현이 달라져도 같은 이동인지 확인하기
학교 프린트에서 “기준점이 (3,2)이고 오른쪽으로 갈수록 제곱근 모양으로 증가한다”라고 표현했다면, 이를 식 y=√(x-3)+2와 연결할 수 있어야 한다. 반대로 식이 주어졌을 때는 기준점과 이동 방향을 말로 설명한다.
이때 y=√(x+1)-4는 왼쪽 1, 아래쪽 4만큼 이동한 함수다. 기본점은 (0,0)→(-1,-4)이고 정의역은 x≥-1이다. 식의 부호를 기계적으로 읽지 않고, 괄호 안의 변화와 바깥 상수의 변화를 각각 대응시켜야 한다.
표를 읽는 별도 확인 과제
표현이 달라졌을 때 관계를 독립적으로 읽는지 확인하기 위해 다음 표를 제시할 수 있다. 이는 무리함수의 평행이동과 혼동하지 않고, 표와 식의 관계를 판단하는 별도 점검이다.
x: 1, 2, 3 / y: 6, 12, 18
각각 y/x=6으로 일정하므로 정비례 관계이며 식은 y=6x이다.
반면
x: 1, 2, 3 / y: 12, 6, 4
각 곱이 xy=12로 일정하므로 반비례 관계이며 식은 y=12/x이다. 표의 숫자와 문제의 표현이 바뀌어도 일정한 비 또는 일정한 곱을 스스로 찾아 결정하는지 확인한다.
평일 귀가 시간이 짧은 감일지구의 학습에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 확인한 뒤, 한 문제를 풀더라도 식의 변화, 대응점, 정의역을 함께 기록하는 방식이 효과적이다. 같은 무리함수를 다시 푸는 데 그치지 않고 y=√(x+1)-4처럼 부호와 이동 방향이 바뀐 식을 제시했을 때도 기준점 (-1,-4)와 정의역 x≥-1을 스스로 찾는지 확인해야 한다.