∫x²dx에서 지수가 3으로 바뀌는 순간을 놓치지 않기
감이동 고2수학과외 학습에서 적분 단원을 점검할 때, 계산 결과보다 먼저 살펴볼 부분은 한 줄의 변화가 다음 줄에 정확히 반영되는지 여부다. 감일고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 긴 풀이를 반복하기보다 오답이 발생한 계산 줄을 찾아 의미를 설명하고 다시 쓰는 연습이 효율적이다.
넓이 계산에서 발견된 잘못된 부정적분
문제는 다음과 같다.
함수 \(y=x^2\)와 \(x=1,\ x=3\), 그리고 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
구간 \([1,3]\)에서 \(x^2\ge 0\)이므로 넓이는 정적분값과 같다.
\[ \int_1^3 x^2\,dx \]
그런데 재풀이 과정에서 다음과 같은 줄이 적혔다.
\[ \int x^2\,dx=\frac{x^3}{2} \]
이 식은 미분으로 확인하면 바로 오류가 드러난다.
\[ \left(\frac{x^3}{2}\right)'=\frac{3x^2}{2}\ne x^2 \]
거듭제곱의 부정적분에서는 지수를 1 증가시킨 뒤, 새 지수로 나누어야 한다.
\[
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)
\]
따라서
\[
\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C
\]
기호의 뜻을 말로 바꾸면 계산 줄이 바로잡힌다
\(\int x^2dx\)는 “미분했을 때 \(x^2\)가 되는 함수를 찾는다”는 뜻이다. 따라서 \(x^3/2\)를 적은 뒤에는 그 식을 미분해 원래의 \(x^2\)가 나오는지 확인해야 한다. 설명과 식이 일치하도록 한 줄을 다음처럼 고친다.
\[ \int x^2dx =\frac{x^{2+1}}{2+1}+C =\frac{x^3}{3}+C \]
이제 넓이를 계산하면
\[ \int_1^3x^2dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 =\frac{27}{3}-\frac{1}{3} =\frac{26}{3} \]
구간에서 함수가 x축 위에 있으므로 넓이는 \(\frac{26}{3}\)이다. 여기서는 부정적분의 계산과 정적분의 끝값 대입을 구분해야 하며, \(+C\)는 정적분을 계산할 때 서로 소거되므로 결과에 남지 않는다.
중간식이 비어 있을 때 지수와 나눗셈을 복원하기
다음 문항의 빈칸을 풀이 근거에 맞게 채운다.
\[ \int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx =\left[\frac{3x^3}{\square}-2x^2+x\right]_0^2 \]
\(3x^2\)를 적분하면 \(3\cdot x^3/3=x^3\)이므로 빈칸에는 \(3\)이 들어간다.
\[ \int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx =\left[x^3-2x^2+x\right]_0^2 =(8-8+2)-0=2 \]
이때 답만 복원하는 것이 아니라, 각 항의 지수가 어떻게 바뀌었는지 확인해야 한다. \(x^2\)는 \(x^3/3\), \(x\)는 \(x^2/2\)가 되며 계수 \(-4\)와 결합해 \(-2x^2\)가 된다.
새 함수에서도 같은 판단이 남아 있는가
마지막으로 다음 식의 빠진 중간식을 스스로 채운다.
\[ \int_1^2(2x^3-x^2+4)\,dx =\left[\frac{x^4}{\square}-\frac{x^3}{\square}+4x\right]_1^2 \]
정확한 복원은
\[ \int_1^2(2x^3-x^2+4)\,dx =\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+4x\right]_1^2 \]
이다. 실제 계산값은
\[ \left(8-\frac83+8\right) -\left(\frac12-\frac13+4\right) =\frac{46}{3}-\frac{25}{6} =\frac{67}{6} \]
새 계수와 다른 구간에서도 지수를 1 올리고 새 지수로 나눈 뒤, 필요하면 원시함수를 미분해 원래 피적분함수로 돌아오는지 확인해야 한다. 이 검산까지 남아 있다면 부정적분 계산이 넓이 문제의 끝값 대입으로 이어질 때도 같은 오류를 줄일 수 있다.