정적분 조건 뒤에 숨은 극값의 위치를 분리해 보기
감이동의 감일고등학교 고3 학생은 정적분 문제를 계산한 뒤 마지막 답만 고치는 습관이 있었다. 같은 하남시의 미사강변고등학교, 미사고등학교, 신장고등학교, 위례고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 실제 계획은 감일고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 기준으로 조정했다. 귀가 후 긴 풀이보다 한 줄의 조건을 표시하는 연습을 먼저 배치했다.
적분값을 구한 뒤 극값 조건을 따로 세우기
다음 함수에서 정적분 조건을 이용해 매개변수를 정하고, 구간에서의 극값 위치를 구한다고 하자.
fa(x)=x3-3x2+ax, ∫02fa(x)dx=0
먼저 적분 조건은
∫02(x3-3x2+ax)dx
=[x4/4-x3+ax2/2]02
=4-8+2a=2a-4
이므로 a=2이다. 따라서 함수는
f(x)=x3-3x2+2x=x(x-1)2
가 된다. 극값은 함수값이 0인 교점이 아니라 도함수가 0이 되는 임계점에서 판단해야 한다.
f′(x)=3x2-6x+2=0
에서
x=1-√3/3, 1+√3/3
을 얻는다. 두 값은 모두 0과 2 사이에 있으며, f′의 부호가 ＋, －, ＋로 바뀌므로 앞의 점은 극대, 뒤의 점은 극소이다.
학생의 오답이 시작된 줄
f(x)=x(x-1)2이므로 교점 x=0, 1에서 함수의 극값이 생긴다.
이 식은 오답이다. x=0, 1은 f(x)=0인 x축과의 교점일 뿐이다. 극값의 조건은 f(x)=0이 아니라 f′(x)=0이며, 실제 임계점은 1±√3/3이다. 특히 x=1에서는 f′(1)=-1이므로 극값이 될 수 없다.
학생은 마지막 답의 숫자만 지우지 않고, 틀린 줄에 표시한 뒤 표의 첫 칸에 0≤x≤2를 적었다. 이어 교점 조건 f(x)=0과 극값 조건 f′(x)=0을 나누어 적고, 수정한 임계점을 원래 도함수에 대입했다.
3(1±√3/3)2-6(1±√3/3)+2=0
이 성립하는 것을 확인한 뒤, f′(0)=2, f′(1)=-1, f′(2)=2를 계산해 부호 변화까지 검산했다. 교점 x=0, 1을 극값으로 착각하지 않았는지는 그래프의 접선 기울기가 0인지 확인해 다시 점검했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않기 위해 다음 문제를 새로 풀었다.
gb(x)=x3-4x2+bx, ∫02gb(x)dx=0
적분 조건에서
4-32/3+2b=0
이므로 b=10/3이다. 따라서
g′(x)=3x2-8x+10/3
이고, 임계점은
x=(4-√6)/3, (4+√6)/3
이다. 두 값은 모두 0과 2 사이에 있다. 반면 교점은
g(x)=x(x2-4x+10/3)=0
에서 x=0, 2-√6/3, 2+√6/3으로 얻어지므로 임계점과 일치하지 않는다. 학생은 새 계수와 새 근을 사용한 뒤에도 “교점은 g(x)=0, 극값은 g′(x)=0”이라는 조건을 분리하고, 각 임계점을 도함수에 재대입해 0이 되는지 확인했다.