감이동고1수학과외: 근호 안 부호로 무리함수의 이동 방향 읽기
감일고등학교 프린트에서 무리함수의 그래프를 다룰 때, 식을 보자마자 꼭짓점부터 표시하면 정의역과 이동 방향을 함께 놓치기 쉽다. 감이 생활권에서 평일 귀가 후 짧은 시간에 복습하더라도, 무리함수는 그래프보다 먼저 근호 안 조건을 적는 순서를 고정해야 한다.
y=√(x-3)에서 시작해야 할 한 줄
근호 안의 값은 음수가 될 수 없으므로
x-3≥0, 따라서 x≥3
이다. 이 조건은 그래프의 정의역을 뜻한다. x=3일 때 y=0이므로 시작점은 (3, 0)이고, 그래프는 x가 3보다 큰 방향, 즉 오른쪽으로 뻗는다. 따라서 y=√x를 오른쪽으로 3만큼 평행이동한 그래프이다.
근호 안의 x-p는 x≥p를 만들고, 그래프의 시작점을 오른쪽 p만큼 옮긴다.
왼쪽으로 그린 그래프가 생긴 이유
수업 중 한 학생은 y=√(x-3)의 그래프를 그리면서 근호 안 조건을 적지 않은 채, “-3이 있으니 왼쪽으로 3만큼 이동”이라고 판단했다. 답안에는 x≤3이라고 쓰고 시작점을 (−3, 0)에 표시했다.
이 판단은 식의 부호와 정의역을 거꾸로 읽은 결과다. 실제로 x=0을 대입하면 √(0-3)=√(−3)이므로 실숫값이 존재하지 않는다. 반면 x=4에서는 √(4-3)=1이므로 (4, 1)은 그래프 위의 점이다. 이런 대입만 해 보아도 그래프가 x=3의 오른쪽에 있어야 함을 확인할 수 있다.
그래프보다 먼저 적는 풀이 기록
이 유형을 풀 때 풀이 첫 줄을 다음처럼 고정한다.
① x-p≥0 → x≥p
② 시작점의 x좌표 p 확인
③ y=√(x-p)+q라면 시작점 (p, q) 표시
예를 들어 y=√(x+2)-4에서는 x+2≥0이므로 x≥−2이다. 시작점은 (−2, −4)이며, x좌표가 −2에서 증가하는 방향으로 그래프를 그린다. 여기서 +2를 보고 오른쪽 2라고 해석하면 안 된다. x+2는 x−(−2)와 같기 때문에 왼쪽 2만큼 이동한 식이다.
조건과 이동을 한꺼번에 바꾸어 보는 연습
감일고등학교의 학교 프린트와 교과서 복습 시간이 겹치는 주간에는 같은 식을 반복하기보다, 계수와 평행이동을 함께 바꾼 문제로 확인하는 편이 효율적이다.
y=√(2x-8)+5를 살펴보면 근호 안 조건은
2x-8≥0 → 2x≥8 → x≥4
이다. 근호 안을 2(x-4)로 고치면 시작점의 x좌표가 4임을 알 수 있고, x=4일 때 y=5이므로 시작점은 (4, 5)이다. 따라서 정의역은 x≥4이며 그래프는 오른쪽으로 진행한다. 앞에 붙은 2는 그래프의 가로 방향 변화에는 영향을 주지만, 정의역의 경계값을 구할 때 부호를 무시하게 만들면 안 된다.
불필요한 수가 들어간 문제에서 확인할 행동
검증 문제에 근호와 직접 관계없는 수 7을 넣어 다음과 같이 제시한다.
함수 y=√(3x-12)+1에 대해 표에 적힌 참고 수 7을 이용해 정의역과 시작점을 구하여라.
7은 식의 조건과 관계없는 정보이므로 먼저 근호 안만 추려야 한다.
3x-12≥0 → x≥4
그리고 x=4일 때 y=1이므로 시작점은 (4, 1)이다. 그래프는 오른쪽으로 향한다. 숫자 7을 억지로 대입하거나 이동 방향 판단에 사용하지 않고, 첫 줄에 근호 안 조건을 적었다면 앞서 연습한 행동이 새 조건에서도 재현된 것으로 본다.
복습을 끝내는 기준
정답만 맞힌 경우에는 충분하지 않다. 풀이를 시작할 때 근호 안 식≥0을 적었는지, 그 결과로 정의역의 경계값을 정했는지, 시작점에서 오른쪽 또는 왼쪽 방향을 부호에 맞게 판단했는지를 함께 확인한다.
학교 시험 범위와 수행평가 일정이 겹쳐 복습 시간이 짧더라도 이 세 기록이 남아 있으면 무리함수의 식과 그래프를 연결해 판단할 수 있다. 반대로 정답이 맞아도 이 과정이 빠졌다면 같은 유형의 재확인 항목으로 남긴다.