감북동 고2수학과외, 넓이값보다 먼저 찾아야 할 계산 줄
감북동은 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않아, 미사강변고·미사고·신장고·위례고·감일고 등 하남시 내 학교로 이어지는 통학과 과제 시간을 함께 고려해 학습 장면을 살펴볼 수 있다. 고등학교 적분 문제에서는 답만 고치는 것보다 어느 계산 줄에서 함수가 달라졌는지를 추적하는 과정이 중요하다.
∫2x dx=x²에서 멈춘 순간
다음 조건을 이용해 함수 F(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구한다고 하자.
F′(x)=2x, F(1)=3, 0≤x≤1
풀이의 첫 줄은
F(x)=∫2x dx=x²
라고 적을 수 없다. 부정적분에는 적분상수 C가 필요하므로
F(x)=x²+C
이어야 한다. F(1)=3을 대입하면 1+C=3이므로 C=2이다. 따라서
F(x)=x²+2
이고, 0≤x≤1에서 F(x)는 항상 양수다. 넓이는
∫₀¹(x²+2)dx=[x³/3+2x]₀¹=1/3+2=7/3
계산 흔적에 C를 빼고 F(x)=x²로 둔 뒤 넓이를 1/3으로 적었다면, 마지막 숫자만 잘못된 것이 아니다. 함수 자체가 x²+2에서 x²로 바뀐 첫 줄이 오류의 출발점이다. 이 장면에서 넓이 계산 줄만 고치면 같은 실수가 다시 발생할 수 있다.
넓이 계산 전에 함수식을 확정하는 세 줄
수정할 때는 다음 순서를 답안에 남긴다.
- F′(x)=2x에서 F(x)=x²+C를 쓴다.
- F(1)=3을 대입해 C=2를 구한다.
- 확정된 F(x)=x²+2를 적분해 넓이를 계산한다.
같은 위치의 미니문제로 조건의 숫자만 바꾸면 다음과 같다.
F′(x)=2x, F(1)=4, 0≤x≤1
F(x)=x²+C이고 1+C=4이므로 C=3이다. 따라서 넓이는
∫₀¹(x²+3)dx=1/3+3=10/3
이때도 먼저 C를 결정한 뒤 넓이를 구해야 하며, F(x)=x²만으로 계산하면 1/3이라는 잘못된 결과가 나온다.
새 숫자에서 적분상수와 넓이를 함께 확인하기
독립 확인에서는 문자를 그대로 반복하지 않고 조건을 바꾼다.
G′(x)=4x, G(1)=5, 0≤x≤1
∫4x dx=2x²+C이므로 2+C=5에서 C=3이다. 따라서 G(x)=2x²+3이고, 구간에서 양수이므로 넓이는
∫₀¹(2x²+3)dx=[2x³/3+3x]₀¹=2/3+3=11/3
여기서 2x²+C를 먼저 썼는지, G(1)=5로 C를 구했는지, 확정된 함수로 넓이를 계산했는지를 각각 확인해야 한다. 마지막 답만 맞히는 것이 아니라 적분상수가 결정된 계산 줄까지 남아 있어야 풀이가 완성된다.