감북동 고3수학과외에서 확인한 미분·수열 극한의 첫 오류
감북동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 미사강변고등학교·미사고등학교·신장고등학교·위례고등학교·감일고등학교 등 같은 하남시 통학권을 참고해 학습 흐름을 살폈다. 통학과 과제가 겹치는 시기에는 풀이를 끝까지 다시 검산하기보다 마지막 부호만 고치는 습관이 생기기 쉽다.
도함수와 수열 조건을 섞은 실제 풀이
학생은 다음 극한을 풀었다.
함수 \(f(x)=x^2\), 수열 \(a_n=1+\frac1n\;(n\ge1)\)에 대하여
\[ \lim_{n\to\infty}n^2\{f(a_n)-f(1)-f'(1)(a_n-1)\} \] 를 구하여라.
답안의 첫 줄은 다음과 같았다.
오답: \(f'(a_n)=2a_n\)이므로
\[
n^2\{f'(a_n)-f'(1)\}
=n^2\left(2+\frac2n-2\right)=2n\to\infty
\]
이 식은 틀렸다. 문제의 \(f(a_n)-f(1)\)를 도함수의 차 \(f'(a_n)-f'(1)\)로 바꾸었기 때문이다. 미분은 함수값의 차를 바로 대체하는 연산이 아니며, 특히 \(n^2\)가 곱해져 있으므로 \(a_n-1=\frac1n\)이라는 조건을 끝까지 유지해야 한다.
첫 불일치를 표시하고 식을 다시 세우기
- 틀린 줄 표시: \(f(a_n)-f(1)\)를 \(f'(a_n)-f'(1)\)로 바꾼 줄에 표시한다.
- 변수 관계 확인: \(a_n-1=\frac1n\), \(f'(1)=2\)임을 따로 적는다.
- 식 수정: \[ \begin{aligned} &n^2\{(a_n)^2-1-2(a_n-1)\}\\ &=n^2\{(a_n-1)^2\} =n^2\left(\frac1n\right)^2=1. \end{aligned} \]
- 검산: \(a_n=1+\frac1n\)을 직접 대입하면 괄호 안이 정확히 \(\frac1{n^2}\)가 되므로 전체 극한은 \(1\)이다.
이 과정에서 핵심은 마지막 답의 부호를 고치는 것이 아니라, 함수값·도함수·수열항의 관계가 처음 바뀐 줄을 찾는 것이다. \(n\ge1\) 조건도 단순한 장식이 아니라 \(a_n\to1\)을 보장하는 핵심 조건으로 기록해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 함수와 수열을 바꾸어 확인했다.
\(g(x)=x^3,\quad b_n=2-\frac3n\;(n\ge2)\)일 때
\[ \lim_{n\to\infty}n^2\{g(b_n)-g(2)-g'(2)(b_n-2)\} \] 를 구하여라.
\(b_n-2=-\frac3n\), \(g'(2)=12\)이므로
\[ \begin{aligned} g(b_n)-g(2)-g'(2)(b_n-2) &=(2-\tfrac3n)^3-8+ \tfrac{36}{n}\\ &=\frac{54}{n^2}-\frac{27}{n^3}. \end{aligned} \]따라서
\[ n^2\left(\frac{54}{n^2}-\frac{27}{n^3}\right) =54-\frac{27}{n}\to54. \]학생은 이번에는 \(b_n-2=-\frac3n\)을 먼저 확인한 뒤 전개식에 대입했고, \(n^2\)를 곱한 뒤 남는 항까지 점검해 정답 \(54\)를 얻었다.