감북동고1수학과외, 근호함수 시작점과 증가 방향 읽기
학교 프린트의 y=√(x-p)+q를 그래프로 옮길 때는 근호 안이 0이 되는 x를 먼저 찾아야 한다. 감북동에서 하남시 내 학교로 통학하며 짧은 시간에 문제를 정리할 때도 식의 모양만 보고 점을 추측하면 부호 오류가 쉽게 생긴다.
근호 안이 0이 되는 순간이 출발점이다
기본형 y=√x는 근호 안의 x가 0일 때 y도 0이므로 시작점은 (0, 0)이다. x가 0보다 커질수록 √x의 값이 커지므로 그래프는 오른쪽 위 방향으로 증가한다.
이 기본형을 오른쪽으로 p만큼, 위쪽으로 q만큼 옮긴 식이
y=√(x-p)+q
이다. 근호 안이 0이 되도록 x-p=0을 세우면 x=p이고, 이때 y=q이다. 따라서 시작점은 (p, q)이며 정의역은 x≥p이다. 계수에 음수가 붙지 않았으므로 그래프는 시작점에서 오른쪽으로 갈수록 증가한다.
(-p, q)라고 읽은 풀이에서 생긴 부호 오류
학생은 y=√(x-3)+2를 보고 시작점을 (-3, 2)로 적었다. 식 안의 3을 그대로 왼쪽 이동으로 해석한 장면이다. 그러나 (-3, 2)를 대입하면 근호 안은 -3-3=-6이 되어 실수 범위에서 함수값을 정할 수 없다.
반대로 x=3을 대입하면
y=√(3-3)+2=2
가 되므로 실제 시작점은 (3, 2)이다. 이후 x=4일 때 y=3, x=7일 때 y=4가 되어 시작점의 오른쪽에서 값이 증가한다.
식의 이동량보다 정의역을 먼저 적기
이 유형을 풀 때는 그래프를 바로 그리지 않고 다음 한 줄을 먼저 남긴다.
x-3≥0 → x≥3
그다음 경계값 x=3을 대입해 y=2를 구한다. 이렇게 하면 시작점 (3, 2)와 정의역 x≥3이 동시에 확인된다. 바깥의 +2는 y값을 2만큼 올리는 역할이고, 근호 안의 -3은 x의 경계가 3이 되게 하는 역할이므로 두 상수를 같은 방식으로 읽지 않는다.
부호를 바꾼 식으로 확인한 적용
새 문제로 y=√(x+5)-1을 제시한다. 근호 안이 0이 되는 조건은 x+5=0이므로 x=-5이다. 이때 y=-1이 되어 시작점은 (-5, -1), 정의역은 x≥-5이다. x=-4를 대입하면 y=0이므로 시작점에서 오른쪽으로 이동하며 증가한다.
이 과정에서 학생이 단순히 숫자를 계산하는 데 그치지 않고, “근호 안을 0으로 만든 x가 시작점의 x좌표”라고 답안에 적는지 확인한다. 학교 프린트에서 식의 항 순서가 달라져도 이 판단을 유지해야 한다.
표현이 달라져도 같은 개념인지 점검하기
교사가 그래프 대신 “정의역의 왼쪽 끝과 그때의 함수값을 구하라”고 묻는 경우에도 절차는 같다. 예를 들어 y=√(x-8)+4에서는 x-8=0에서 x=8을 얻고, 함수값은 4이므로 답은 시작점 (8, 4), 정의역 x≥8이다.
감북동에서 통학 후 학교 자료와 문제집의 표현이 달라져도, 학생이 근호 안을 0으로 설정하고 바깥 상수를 대입하는 순서를 스스로 재현한다면 이 개념을 새로운 수치에도 적용한 것으로 판단할 수 있다.