포천고2수학과외, 극대·극소를 가르는 도함수의 부호 확인
포천시의 고등학교 학생들은 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 풀이를 이어 갈 수 있는 시간이 서로 다르다. 포천일고등학교, 포천고등학교, 송우고등학교 등 학교별 일정과 귀가 시간이 다른 만큼, 짧은 풀이에서도 계산 한 줄을 정확히 점검하는 습관이 중요하다.
f'(x)=0인 점을 모두 극값으로 적은 풀이
다음 함수의 극대·극소를 구하는 과정에서 오류가 나타났다.
f(x)=x³-3x²+2x
학생은 미분한 뒤 다음처럼 적었다.
f'(x)=3x²-3x+2
여기서 -3x²를 미분한 항은 -6x이어야 하므로, 정확한 도함수는
f'(x)=3x²-6x+2
이다. 이 계산 줄을 고치지 않은 채 도함수의 근을 구하면 이후의 극대·극소 판단도 모두 달라진다. 또 도함수의 근을 찾았다고 해서 그 점을 곧바로 극대 또는 극소라고 할 수도 없다. 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소가 된다.
미분 공식 오류만 따로 표시해 다시 계산하기
이 함수에서는 f'(x)=0의 해가
3x²-6x+2=0
이므로
x=1±√3/3
이다. 두 임계점을 얻은 뒤에는 두 점을 기준으로 구간을 나누어 도함수의 부호를 확인해야 한다. 학생이 답안에 표시할 항목은 여러 가지가 아니라 이번 오류 유형인 ‘거듭제곱 미분 공식’ 하나로 제한한다.
(-3x²)'=-3·2x=-6x
처럼 원래 항과 미분 결과를 한 줄로 대응시키면 계수와 지수를 함께 확인할 수 있다. 그 다음에만 f'(x)=0을 풀고, 부호 변화를 통해 극값 여부를 결정한다.
식이 복잡해져도 극값 판정을 유지하는지 확인
다음 함수에서는 인수분해된 도함수를 이용해 판단한다.
g(x)=(x²-2x)²
미분하면
g'(x)=4(x²-2x)(x-1)=4x(x-2)(x-1)
따라서 임계점은 x=0, 1, 2이다. 도함수의 부호는
x<0에서 음수0<x<1에서 양수1<x<2에서 음수x>2에서 양수
이므로 x=0, 2에서는 음수에서 양수로 바뀌어 극소, x=1에서는 양수에서 음수로 바뀌어 극대이다. g'(x)=0인 세 점을 모두 같은 종류의 극값으로 적으면 부호 변화를 확인하지 않은 것이다.
마지막으로 g(0)=0, g(1)=1, g(2)=0을 대입해 부호표의 결론과 함수값이 일치하는지도 확인한다. 복잡한 식에서도 먼저 미분 공식 오류를 한 줄에서 점검하고, 이후 임계점의 범위와 도함수 부호를 연결해야 극대·극소 판정이 흔들리지 않는다.