포천고1수학과외

포천고1수학과외, 유리함수 식 변형 뒤 정의역을 지키는 방법

유리함수 문제에서 식이 간단해졌다는 이유만으로 원래 함수와 같은 함수라고 판단하면 안 된다. 포천의 고등학교와 소흘읍 등 생활권에서 학교나 주거지까지 이동하는 시간이 서로 다른 만큼, 짧은 시간에 문제를 풀 때도 계산 순서보다 먼저 확인할 조건을 정해 두어야 한다.

약분한 순간 사라진 조건

다음 함수의 정의역을 포함해 정리해 보자.

f(x) = (x² - 9) / (x - 3)

분자를 인수분해하면

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

이므로 x ≠ 3일 때

f(x) = {(x - 3)(x + 3)} / (x - 3) = x + 3

이라고 쓸 수 있다. 그러나 원래 식의 분모가 0이 되지 않으려면 처음부터 x ≠ 3이어야 한다. 따라서 정확한 표현은

f(x) = x + 3, 단 x ≠ 3

이다. 식만 보면 x + 3의 정의역은 모든 실수처럼 보이지만, 원래 함수에는 x = 3이 포함되지 않는다. 두 식의 계산 결과가 대부분 같아도 정의역까지 같지 않으면 같은 함수로 취급할 수 없다.

답안에서 빠진 줄이 만든 오류

학교 프린트의 유리함수 문제를 풀 때 학생은 위 식을 인수분해한 뒤 바로 분자와 분모의 x - 3을 약분했다. 답안에는 다음 줄만 남아 있었다.

f(x) = x + 3

그 뒤 x = 3을 대입해 f(3) = 6이라고 계산했다. 이 계산이 잘못된 위치는 마지막 대입 줄이 아니라, 약분한 뒤 원래 분모의 조건 x - 3 ≠ 0을 기록하지 않은 줄이다. x = 3에서는 원래 식의 분모가 0이므로 f(3)은 정의되지 않는다.

약분은 x ≠ 3이라는 조건 안에서만 가능하다. 약분한 식은 원래 함수의 값을 계산하기 편하게 바꾼 표현이지, 빠진 정의역까지 되살리는 과정이 아니다.

계산 전에 말로 고정하는 판단

수정할 때 학생에게 정답을 외우게 하기보다 식 변형의 근거를 먼저 설명하게 한다.

• 원래 분모는 x - 3이다.
• 따라서 x - 3 ≠ 0, 즉 x ≠ 3이다.
• 이 조건에서만 (x - 3)을 약분할 수 있다.
• 변형된 식은 x + 3이지만 원래 함수의 정의역은 x ≠ 3으로 유지된다.

이 말을 한 뒤에야 f(5)를 계산한다. 원래 식에 대입하면

f(5) = (25 - 9) / (5 - 3) = 16 / 2 = 8

변형된 식으로 계산해도 5 + 3 = 8이므로 두 표현의 값이 일치한다. 반면 x = 3은 변형식에서 6이 나오더라도 원래 함수에서는 대입할 수 없다.

원래 식과 바뀐 식을 나란히 검산하기

식 변형이 허용되는 범위를 확인하려면 임의의 허용값과 제외값을 구분해 대입한다. x = 1에서는 원래 식이

(1² - 9) / (1 - 3) = (-8) / (-2) = 4

이고 변형식 1 + 3도 4이다. 그러나 x = 3에서는 원래 식이

(3² - 9) / (3 - 3) = 0 / 0

이 되어 계산할 수 없다. 이 비교를 통해 ‘식의 모양이 같아졌다’와 ‘정의역까지 동일하다’를 구별한다.

처음 보는 문제에서 확인할 한 줄

시험 후 다음 문제를 제시한다.

g(x) = (x² + 5x + 6) / (x + 2)

학생이 안내 없이 풀이를 시작할 때 먼저 원래 분모를 보고 x + 2 ≠ 0, 즉 x ≠ -2를 적는지 확인한다. 이후

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

이므로 g(x) = x + 3, 단 x ≠ -2라고 정리해야 한다. 관찰할 때는 단순히 답이 맞았는지만 보지 않고, 정의역을 빠뜨린 정확한 줄을 스스로 지목하는지 확인한다. “약분 뒤에 x ≠ -2를 다시 적지 않으면 x = -2를 허용하게 된다”라고 설명하면, 식 변형과 원래 함수의 조건을 연결해 적용한 것으로 판단할 수 있다.