포천고3수학과외

포천 고3수학과외에서 벡터 각도의 첫 오류 찾기

포천일고등학교, 포천고등학교, 송우고등학교 등 학교와 주거지 사이의 거리에 따라 고3 학생의 자습 시간이 달라질 수 있다. 소흘읍처럼 이동 시간이 일정하지 않은 생활권에서는 긴 풀이보다 시험지에서 오류가 시작된 줄을 빠르게 찾는 습관이 중요하다.

각의 공식에서 분모를 빠뜨린 풀이

학생은 두 직선의 방향벡터가 벡터 a=(1, 2, -2), 벡터 b=(2, -1, 2)일 때 내적을 다음과 같이 계산했다.

a·b=1×2+2×(-1)+(-2)×2=-4

따라서 cosθ=-4

이 식은 틀렸다. 내적값은 두 벡터의 크기를 곱한 값과 각도의 코사인의 관계로 해석해야 하므로, a·b=|a||b|cosθ를 사용해야 한다. 두 벡터의 크기는 각각

|a|=√(1²+2²+(-2)²)=3,　|b|=√(2²+(-1)²+2²)=3

이다. 따라서

cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-4/9

두 직선이 이루는 예각을 묻는다면 방향벡터의 부호를 바꾸어 cosθ=4/9로 정리한다. 학생의 ‘cosθ=-4’는 코사인의 범위 -1≤cosθ≤1도 만족하지 않으므로 계산 직후 확인할 수 있는 명백한 오류다.

첫 불일치 줄을 표시하는 수정 과정

• 오류 표시: 왼쪽 여백에 ‘내적값을 cos값으로 바로 사용, 벡터 크기 분모 누락’이라고 적는다.
• 관계 확인: 내적은 a·b=|a||b|cosθ이고, 방향벡터의 크기를 반드시 나누어야 한다고 확인한다.
• 식 수정: -4를 그대로 쓰지 않고 (-4)/(3×3)=-4/9로 고친다.
• 범위 검산: -4/9는 코사인의 범위 안에 있으므로 수치 조건을 통과하는지 확인한다.
• 단위벡터 검산: a/3, b/3으로 표준화한 뒤 두 단위벡터의 내적을 계산해도 -4/9가 나오는지 역검산한다.

이 과정을 거치면 같은 계산을 처음부터 반복하지 않고, 답이 달라진 첫 줄에서 오류 종류와 변수 사이의 관계를 함께 고칠 수 있다.

꼬인 두 직선으로 바꾼 전이 확인

새 문제에서는 공간의 두 직선을 다음과 같이 둔다.

L₁: (x,y,z)=(0,1,0)+t(2,-1,2)

L₂: (x,y,z)=(1,0,2)+s(1,2,2)

두 직선은 한 평면 위에 있지 않은 꼬인 위치이지만, 두 직선의 각은 방향벡터의 각으로 구한다. 방향벡터를 u=(2,-1,2), v=(1,2,2)라 하면

u·v=2×1+(-1)×2+2×2=4

|u|=3,　|v|=3

따라서 예각 θ에 대해

cosθ=|u·v|/(|u||v|)=4/9

학생은 새 문제에서도 먼저 분모를 적고, 마지막에 단위벡터의 내적과 코사인의 범위를 확인해야 한다. 위치벡터의 점 좌표가 바뀌어도 각도 계산에서 핵심인 방향과 내적의 관계는 변하지 않는다.