소흘읍고2수학과외

소흘읍고2수학과외에서 확인한 극대·극소와 도함수의 연결

송우고등학교와 동남고등학교가 있는 소흘읍에서는 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 풀이 과정을 짧게라도 남기는 것이 중요하다. 특히 극대·극소 문제는 f'(x)=0인 점을 찾는 데서 끝나지 않고, 도함수의 부호 변화와 접선의 기울기까지 연결해야 한다.

f'(x)=0인 점이 모두 극값은 아니다

다음 함수의 극대·극소를 살펴보자.

f(x)=x3-3x

먼저 도함수를 구하면

f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)

따라서 임계점은 x=-1, 1이다. 그러나 이 두 값을 곧바로 극대·극소라고 적는 것은 결론을 건너뛴 것이다. 도함수의 부호를 확인하면

• x<-1에서 f'(x)>0
• -1<x<1에서 f'(x)<0
• x>1에서 f'(x)>0

즉 x=-1에서는 증가에서 감소로 바뀌므로 극대, x=1에서는 감소에서 증가로 바뀌므로 극소이다. 함수값은

f(-1)=2,   f(1)=-2

이므로 극대점은 (-1, 2), 극소점은 (1, -2)이다. 해당 점에서 접선의 기울기는 각각 f'(-1)=0, f'(1)=0이므로 두 접선은 모두 수평이다. 다만 수평 접선이라는 사실만으로 극값이라고 판단할 수는 없다.

여백에 적힌 한 줄에서 빠진 조건

풀이 여백에 f'(x)=0인 모든 점을 극대 또는 극소라고 적는다.라는 문장이 남아 있었다. 이 문장은 임계점을 찾는 단계와 극값을 판정하는 단계를 합친 오류다.

예를 들어

g(x)=x3

에서는 g'(x)=3x2이므로 x=0에서 도함수가 0이다. 하지만 x<0과 x>0 모두 g'(x)>0이므로 함수는 계속 증가한다. 따라서 x=0은 극대도 극소도 아니다. 접선은 수평이지만 극값은 아닌 대표적인 경우다.

이때 기존 문장만 지우지 않고 옆에 다음 조건을 덧붙인다.

f'(x)=0은 후보이며, 도함수의 부호가 +→- 또는 -→+로 바뀌는지 확인한다.

그 뒤 x=-1, 1을 구간별 부호표에 넣어 극대와 극소를 다시 구분한다. 극값의 함수값을 요구하면 해당 x값을 반드시 원래 함수에 대입한다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기

다음 변형문제로 앞의 판단을 점검한다.

h(x)=-x3+3x

h'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)이므로 후보는 여전히 x=-1, 1이다. 하지만 부호는

• x<-1에서 h'(x)<0
• -1<x<1에서 h'(x)>0
• x>1에서 h'(x)<0

따라서 x=-1은 감소에서 증가로 바뀌는 극소, x=1은 증가에서 감소로 바뀌는 극대이다. 함수값은 h(-1)=-2, h(1)=2이다.

부호가 바뀐 식에서도 f'(x)=0만 보고 두 점을 같은 방식으로 분류하지 않고, 후보 표시 → 부호표 작성 → 함수값 대입 → 접선 기울기 확인의 순서를 유지했는지가 풀이의 기준이 된다.