소흘읍 고3수학과외, 공간벡터의 방향과 수직 조건 다시 세우기
송우고등학교와 동남고등학교가 있는 소흘읍에서는 방과 후 이동 시간을 고려해 짧은 시간에도 한 문제를 처음부터 독립적으로 검토하는 연습이 중요하다. 같은 포천시의 포천일고등학교·일동고등학교·관인고등학교는 참고 학교이며 소흘읍 소재 학교로 구분하지 않는다.
투영한 성분과 수직 성분을 구분하기
점 \(A(1,2,-1)\)을 지나고 방향벡터 \(\mathbf u=(2,-1,2)\)인 직선에 대해 점 \(P(3,0,1)\)에서 직선까지의 거리와 \(\overrightarrow{AP}\) 및 직선의 방향벡터가 이루는 각을 구한다.
학생은 먼저
\(\overrightarrow{AP}=(2,-2,2)\), \(\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf u=10\)
을 계산했지만, 투영된 길이를 거리로 판단해
\(d=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf u|}{|\mathbf u|}=\dfrac{10}{3}\)
이라고 썼다. 이 식은 직선 방향으로 나란히 놓인 성분의 길이이므로 점에서 직선까지의 수직거리가 아니다. 거리에는 방향벡터와 수직인 성분을 사용해야 한다.
오류 줄을 표시하고 수직 성분으로 수정하기
풀이에서 \(d=10/3\)인 줄에 밑줄을 긋고, 점과 직선의 관계를 다시 확인했다.
먼저
\[ |\mathbf u|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9,\qquad \overrightarrow{AP}\cdot\mathbf u=10 \]
이므로 \(\overrightarrow{AP}\)의 직선 방향 투영벡터는
\[ \operatorname{proj}_{\mathbf u}\overrightarrow{AP} =\frac{10}{9}(2,-1,2) =\left(\frac{20}{9},-\frac{10}{9},\frac{20}{9}\right) \]
이다. 따라서 수직 성분은
\[ \overrightarrow{AP}_{\perp} =(2,-2,2)-\left(\frac{20}{9},-\frac{10}{9},\frac{20}{9}\right) =\left(-\frac29,-\frac89,-\frac29\right) \]
이고, 실제 거리는
\[ d=|\overrightarrow{AP}_{\perp}| =\frac{\sqrt{4+64+4}}9 =\frac{2\sqrt2}{3} \]
이다. 실제로 \(\overrightarrow{AP}_{\perp}\cdot\mathbf u=0\)이므로 수직 성분이라는 조건도 만족한다.
두 방향이 이루는 각을 \(\theta\)라 하면
\[ \cos\theta =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf u} {|\overrightarrow{AP}||\mathbf u|} =\frac{10}{\sqrt{12}\cdot3} =\frac{5}{3\sqrt3} \]
이다. 거리 계산의 투영 성분과 각도 계산의 내적을 같은 의미로 혼동하지 않는 것이 핵심이다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 직선이 점 \(B(0,1,2)\)를 지나고 방향벡터가 \(\mathbf v=(1,2,-2)\)이며, 점 \(Q(2,-1,1)\)에서 이 직선까지의 거리를 구한다.
\[ \overrightarrow{BQ}=(2,-2,-1),\qquad \overrightarrow{BQ}\cdot\mathbf v =2-4+2=0 \]
이번에는 점에서 직선으로 향하는 벡터가 직선 방향벡터에 이미 수직이다. 따라서 투영 성분을 따로 빼지 않고
\[ d=|\overrightarrow{BQ}| =\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}=3 \]
으로 계산한다. 앞 문제의 숫자 배열을 복사하지 않고, 먼저 내적이 0인지 확인한 뒤 평행 성분과 수직 성분을 구분해 재현했다.