소흘읍고1수학과외: 점근선과 정의역을 함께 정하는 유리함수
소흘읍의 송우고등학교와 동남고등학교에서 학교 수업을 마친 뒤 이동하고 남은 짧은 자습시간에는 유리함수의 식을 단순히 계산하는 연습보다 조건을 식으로 옮기는 과정이 중요하다. 특히 함수값을 구하기 전에 입력값이 정의역에 들어가는지 확인해야 한다.
값을 계산하기 전에 제외할 입력값
유리함수는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
f(x)=a/(x-p)+q
이때 수직점근선은 x=p, 수평점근선은 y=q이다. 분모가 0이 되는 x=p는 정의역에서 제외된다. 따라서 x의 값을 대입하기 전에는 먼저 x≠p를 표시해야 한다.
예를 들어 점근선이 x=2, y=-1이고 그래프가 점 (4, 2)를 지난다면 식은
f(x)=a/(x-2)-1
로 둘 수 있다. 점 (4, 2)를 대입하면
2=a/(4-2)-1
3=a/2
a=6
따라서
f(x)=6/(x-2)-1, 정의역은 x≠2
이다. 점근선 x=2는 식의 분모를 0으로 만드는 값이므로, 그래프가 그 점을 지난다고 해석해서는 안 된다.
다음 줄로 넘어가기 전에 빠진 조건
관찰된 풀이에서는 함수값 계산 전에 입력값의 정의역 포함 여부를 확인하지 않았고, 풀이 시작 전에 ‘점근선·정의역·한 점 조건이 바뀐 새 유리함수 식 독립적으로 구성’을 한 줄로 적지 않았다. 답안에는 점근선과 한 점을 이용해 식을 정하는 과정 없이 계산식만 이어졌으며, 점근선·정의역·한 점 조건이 바뀐 새 유리함수 식을 스스로 구성하는 단계도 빠져 있었다.
이 상태에서는 식의 형태를 기억해 계산할 수는 있어도, 조건이 바뀌었을 때 어떤 값을 p와 q에 넣어야 하는지 결정하기 어렵다. 특히 x=2를 대입하는 문제가 나오면 분모가 0이 되어 함수값이 정의되지 않는다는 판단을 놓칠 수 있다.
조건을 표시한 뒤 식을 세우는 순서
풀이 전에는 다음 한 줄을 실제로 적는다.
점근선: x=p, y=q → 정의역: x≠p → 한 점 대입 → a 결정
그 뒤 각 조건을 식에 표시한다. 점근선이 x=2, y=-1이면 먼저 식의 뼈대를 a/(x-2)-1로 정하고, 주어진 점만 대입한다. 마지막에는 얻은 식에 x=4를 다시 넣어 f(4)=2가 되는지 확인한다.
정의역 확인도 별도로 남긴다. 예를 들어 f(0)은 계산할 수 있지만 f(2)는 분모가 0이므로 계산 대상이 아니다. 함수값을 구하라는 문장이 있어도 입력값이 제외값이면 ‘정의되지 않음’이라고 답해야 한다.
조건이 바뀐 새 식을 혼자 구성하기
훈련에서는 같은 식을 반복하지 않고 조건을 바꾼다. 점근선이 x=-1, y=3이고 그래프가 점 (1, 6)을 지나는 경우를 보자.
식의 형태는
g(x)=b/(x+1)+3
이고 정의역은 x≠-1이다. 점 (1, 6)을 대입하면
6=b/(1+1)+3
3=b/2
b=6
그러므로
g(x)=6/(x+1)+3, x≠-1
이다. 풀이 후에는 한 번 더 조건을 확인한다. 분모가 x+1이므로 수직점근선은 x=-1이고, 항 6/(x+1)이 0에 가까워질 때 함수값은 3에 가까워지므로 수평점근선은 y=3이다. 또한 g(1)=6이므로 한 점 조건도 맞는다.
학교 밖 이동 시간에 남기는 검증 흔적
소흘읍에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 시간에는 긴 문제 풀이보다 조건 표시가 남아 있는지 확인한다. 중2 선행 맛보기 수준의 좌표·그래프 문제를 활용하되, 실제 변화는 풀이 시작 전에 점근선, 제외할 x값, 주어진 한 점을 표시하는 것으로 판단한다.
작도나 그래프 표시를 외운 흔적으로 처리하지 않고, 어떤 값이 같아지는 조건을 사용했는지 설명하게 한다. 유리함수에서는 ‘분모가 0이 되는 입력값은 제외되고, 분모의 이동과 상수항이 각각 점근선을 결정한다’고 말할 수 있어야 한다. 새 문제에서 이 표시와 설명을 스스로 남긴다면 조건이 달라진 유리함수도 독립적으로 구성한 것으로 볼 수 있다.