평택고2수학과외: f′(x)=0 뒤에 반드시 부호표를 완성하는 미분 풀이
용이동·비전동처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 고2 학습에서는 미분 문제를 푼 뒤 계산 줄을 건너뛰지 않는 습관이 중요하다. 특히 증가·감소 문제는 도함수가 0이 되는 점만 찾았다고 끝나지 않는다. 그 점을 기준으로 각 구간에서 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지 확인해야 한다.
도함수가 0인 점은 구간을 나누는 후보일 뿐
다음 함수의 증가·감소를 살펴보자.
f(x)=x³−3x
먼저 미분하면
f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)
따라서 f′(x)=0에서 x=−1, 1을 얻는다. 여기서 풀이를 멈추고 “−1과 1에서 증가·감소가 결정된다”고 쓰면 근거가 부족하다. 두 점은 실수 전체를 세 구간으로 나누는 경계일 뿐이며, 각 구간에서 f′(x)의 부호를 조사해야 한다.
| 구간 | 시험값 | f′(x)의 부호 | 함수의 변화 |
|---|---|---|---|
| x<−1 | x=−2 | 3(−3)(−1)>0 | 증가 |
| −1<x<1 | x=0 | 3(−1)(1)<0 | 감소 |
| x>1 | x=2 | 3(1)(3)>0 | 증가 |
그러므로 f(x)는 (−∞,−1), (1,∞)에서 증가하고, (−1,1)에서 감소한다. x=−1에서는 도함수 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 극대, x=1에서는 음수에서 양수로 바뀌므로 극소이다.
학생의 계산지에서 빠진 한 줄
풀이에는 다음처럼 적혀 있었다.
f′(x)=3(x−1)(x+1)=0, x=−1, 1
따라서 증가·감소 구간은 x=−1, 1이다.
여기서 f′(x)=0인 점을 찾은 계산 자체는 맞지만, 점과 구간을 같은 것으로 처리한 것이 오류다. 증가·감소는 특정 점의 도함수값만으로 결정하지 않고, 그 점 양쪽 구간에서 도함수가 양수인지 음수인지로 판단한다. 따라서 누락된 줄은 다음과 같이 남겨야 한다.
−1, 1을 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에서 f′(x)의 부호를 조사한다.
이 한 줄을 답안에 먼저 적은 뒤 시험값을 실제로 대입한다. 인수의 부호를 따로 표시하면 계산 줄을 건너뛰기 어렵다.
두 후보를 모두 부호표에 넣는 확인 문제
이번에는
g′(x)=x²−4=(x−2)(x+2)
인 함수 g의 증가·감소를 판단한다. g′(x)=0의 후보는 x=−2, 2 두 개다. 두 후보 중 하나만 표시하면 구간이 완성되지 않는다.
- x<−2에서 x=−3을 대입하면 g′(−3)=5>0
- −2<x<2에서 x=0을 대입하면 g′(0)=−4<0
- x>2에서 x=3을 대입하면 g′(3)=5>0
따라서 g는 (−∞,−2), (2,∞)에서 증가하고 (−2,2)에서 감소한다. 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 x=−2는 극대, 음수에서 양수로 바뀌는 x=2는 극소이다.
새 식에서도 먼저 도함수를 0으로 만드는 후보를 모두 표시하고, 그 후보 사이의 모든 구간에 시험값을 하나씩 넣었다면 풀이의 판단 근거가 완성된 것이다.