평택 고3수학과외, 법선벡터의 부호를 끝까지 검산하는 풀이
용이동과 비전동처럼 이동 거리와 과제가 함께 늘어나는 생활권에서는 풀이를 짧게 끝내려는 습관보다, 해설과 내 식이 어디서 달라졌는지 확인하는 과정이 중요하다. 이 학생은 평택고등학교, 평택여자고등학교 등에서 다루는 공간벡터 문제를 풀 때 결론만 따라 적는 경향이 있었다.
두 방향벡터에서 법선벡터 만들기
점 A(1,2,-1)을 지나고 두 방향벡터
u=(1,1,0), v=(2,0,1)
에 평행한 평면의 방정식을 구해 보자. 법선벡터는 두 방향벡터에 동시에 수직이어야 하므로 외적을 계산한다.
u×v=(1,-1,-2)
따라서 평면식은
(1,-1,-2)·(x-1,y-2,z+1)=0
즉,
x-y-2z-1=0
틀린 중간식을 분리해서 확인하기
학생의 오답: u×v=(1,-1,2)이므로 (x-1)-(y-2)+2(z+1)=0, 따라서 x-y+2z+1=0
이 식은 틀린 식이다. 외적의 세 번째 성분은
1×0-1×2=-2
이므로 +2가 아니라 -2여야 한다. 단순히 해설의 답을 따라가는 대신 다음처럼 원식과 변형식을 나누어 비교해야 한다.
- 변수 범위·조건: x,y,z는 모든 실수, 평면은 점 A를 지나며 u,v와 평행
- 외적 확인: (1,-1,-2)·(1,1,0)=0, (1,-1,-2)·(2,0,1)=0
잘못된 법선벡터 (1,-1,2)를 대입하면
(1,-1,2)·(2,0,1)=2+2=4
가 되어 v와 수직이 아니다. 따라서 그 법선벡터로 만든 평면은 주어진 방향 조건을 만족하지 않는다.
경계점과 기준점을 직접 대입하는 습관
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 외적의 각 성분을 행렬식으로 다시 계산했다. 이어서 평면식에 기준점 A(1,2,-1)을 넣어
1-2-2(-1)-1=0
임을 확인했다. 또한 방향벡터의 끝점처럼 생각한 A+u=(2,3,-1)을 대입하면
2-3-2(-1)-1=0
이고, A+v=(3,2,0)도
3-2-0-1=0
이므로 두 방향이 모두 평면 위에 놓인다. 이 검산을 통해 부호, 공식, 조건 중 무엇이 틀렸는지 구분할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 점 B(2,-1,3)과 방향벡터
a=(1,0,2), b=(0,2,1)
이 주어졌다고 하자. 법선벡터는
a×b=(-4,-1,2)
이다. 따라서 평면은
-4(x-2)-(y+1)+2(z-3)=0
즉, 4x+y-2z-1=0으로 정리된다.
기준점 B를 대입하면 8-1-6-1=0이고, 두 방향벡터도
(4,1,-2)·(1,0,2)=0, (4,1,-2)·(0,2,1)=0
을 만족한다. 숫자와 방향을 바꾼 문제에서도 법선벡터가 두 방향벡터와 수직인지 먼저 확인하면 평면식을 안정적으로 완성할 수 있다.