평택고1수학과외: 두 유리함수의 교점을 공통분모로 정리하는 과정
용이동이나 비전동에서 학교와 귀가 후 과제를 이어 가는 고1 학생에게는 풀이 한 줄을 생략한 채 다음 계산으로 넘어가는 습관이 자주 나타난다. 특히 유리함수의 교점은 식을 정리하는 순서가 답의 존재 여부와 좌표를 함께 결정하므로, 공통분모를 만든 과정이 답안에 남아 있어야 한다.
공통분모를 쓰지 않고 넘어간 풀이
다음 두 함수의 교점을 구해 보자.
y = (x+2)/(x-1), y = (3x-4)/(x+2)
정의역에서 x≠1, x≠-2이다. 두 그래프가 만나는 점에서는 두 함수의 y값이 같으므로
(x+2)/(x-1) = (3x-4)/(x+2)
가 성립한다. 그런데 학생은 공통분모를 표시하지 않고 곧바로 다음과 같이 적었다.
(x+2)+(3x-4) = (x-1)+(x+2)
이는 분수를 통분하거나 양변에 공통분모를 곱한 식이 아니다. 분자의 합과 분모의 합을 비교하는 과정은 원래 등식과 관계가 없기 때문에, 이 줄에서 계산을 멈추면 교점 조건이 사라진다.
교점 조건을 한 줄씩 보존하기
두 분모를 곱한 공통분모는 (x-1)(x+2)이다. 정의역 조건을 먼저 남긴 뒤 양변에 이 값을 곱하면 다음과 같이 된다.
(x+2)(x+2) = (3x-4)(x-1)
이제 양변을 전개한다.
x²+4x+4 = 3x²-7x+4
한쪽으로 정리하면
2x²-11x=0
따라서
x(2x-11)=0
이므로 x=0 또는 x=11/2이다. 두 값 모두 1과 -2가 아니므로 정의역에서 제외되지 않는다.
x=0일 때 y=(0+2)/(0-1)=-2이고, x=11/2일 때
y=(11/2+2)/(11/2-1)=(15/2)/(9/2)=5/3
이다. 따라서 교점은 (0,-2), (11/2,5/3)이다.
빠진 줄을 표시하고 그 자리부터 다시 쓰기
오답을 고칠 때 완성된 풀이를 베끼게 하지 않고, 학생이 공통분모 단계가 빠진 위치에 표시하게 한다. 위 풀이에서는 두 함수의 등식을 세운 직후가 해당 위치다. 그 줄 아래에
공통분모: (x-1)(x+2)
를 적고, 바로 이어서 양변에 공통분모를 곱한 식을 다시 작성한다. 이후에는 전개, 동류항 정리, 정의역 확인, y값 대입을 각각 분리한다. 공통분모 표시와 동류항 정리를 한 줄에서 동시에 처리하지 않으면 어느 단계에서 식이 바뀌었는지 추적하기 쉽다.
답안에서 확인할 네 가지 흔적
- 두 함수의 y값을 같다고 놓았는가.
- 분모가 0이 되지 않는 조건을 적었는가.
- (x-1)(x+2)를 곱해 분모를 제거한 식이 남아 있는가.
- 구한 x값을 원래 함수에 대입해 좌표를 완성했는가.
이 네 흔적 중 공통분모를 곱한 줄이 없으면, 뒤의 이차방정식이 우연히 맞더라도 교점 풀이의 근거가 충분하지 않다.
일주일 뒤 바뀐 조건에서 풀이 순서를 확인하기
오답을 다시 꺼냈을 때는 계산 결과를 먼저 알려 주지 않는다. 예를 들어 다음 문제를 제시한다.
y=(2x-1)/(x+3), y=(x+5)/(x-2)
학생이 정한 체류시간 안에 공통분모를 표시하고, 정의역 조건 x≠-3, x≠2를 적은 뒤 양변에 (x+3)(x-2)를 곱하는지 본다. 막히면 해당 문항을 보류하고 뒤의 해결 가능한 문제로 이동하는지도 함께 기록한다.
그 뒤 현재 배우는 유리함수 문제와 선행 문제를 어떤 순서로 배치할지 학생이 스스로 정하게 한다. 계산을 끝까지 밀어붙이는 것보다, 필요한 식의 구조를 먼저 남기고 풀 수 있는 문제와 보류할 문제를 구분하는지가 새로운 조건에서 확인할 학습 행동이다.