용이동고2수학과외에서 확인한 도함수 부호와 증가·감소의 연결
“f′(x)=0인 x만 표시하면 감소하다가 증가한다고 볼 수 있죠?”
평택시 용이동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 평택여자고등학교·한광여자고등학교·이충고등학교 등 같은 평택시 학교의 통학권을 참고하되 학생마다 학교와 주거지 사이의 이동 시간을 다르게 살펴볼 필요가 있다. 이때 짧은 풀이 시간에도 반드시 남겨야 하는 것은 계산 결과 하나가 아니라 도함수의 부호 변화다.
f′(x)=0은 구간을 나누는 기준일 뿐이다
다음 함수를 살펴보자.
f(x)=x³-3x²-9x+2
도함수는
f′(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)
이므로 f′(x)=0에서 x=-1, 3을 얻는다. 여기서 멈추면 안 된다. 두 값을 기준으로 구간을 나누고 각 구간에서 도함수의 부호를 확인해야 한다.
| 구간 | 대입값 | f′(x)의 부호 | 함수의 변화 |
|---|---|---|---|
| x<-1 | x=-2 | 3(-1)(-5)>0 | 증가 |
| -1<x<3 | x=0 | 3(1)(-3)<0 | 감소 |
| x>3 | x=4 | 3(5)(1)>0 | 증가 |
따라서 f는 (-∞,-1)에서 증가, (-1,3)에서 감소, (3,∞)에서 증가한다. x=-1과 x=3은 도함수가 0인 점이고, 증가·감소는 그 양옆 구간의 부호로 결정된다. 접선의 기울기도 같은 도함수 f′(x)로 읽는다. 즉 f′(x)>0이면 해당 점에서 접선의 기울기가 양수이고, f′(x)<0이면 음수다.
두 임계점만 찍은 답안이 왜 부족한가
학생의 답안에는 “f′(x)=0인 x=-1, 3 표시 → -1에서 극대, 3에서 극소”만 적혀 있었다. 이 결론은 실제로는 맞지만, 각 구간의 부호를 조사하지 않아 증가·감소의 근거가 빠져 있다. 더구나 f′(x)=0이라고 해서 언제나 극대나 극소가 되는 것도 아니다.
예를 들어 g(x)=x³이면 g′(x)=3x²이고 g′(0)=0이다. 그러나 x<0과 x>0에서 모두 g′(x)>0이므로 g는 양쪽에서 계속 증가한다. 따라서 x=0은 극대나 극소가 아니다.
풀이를 고칠 때는 도함수의 영점 아래에 바로 구간을 나누고, 각 구간에서 간단한 값을 하나씩 대입한다. 원래 식 f′(x)=3(x+1)(x-3)을 유지한 채 x=0을 대입하면 3·1·(-3)<0임을 확인할 수 있다. 이 한 줄이 가운데 구간의 감소를 뒷받침한다.
계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기
다음 문제에서는 앞의 숫자와 표현이 달라진다.
h(x)=-2x³+3x²+12x-1의 증가 구간과 감소 구간을 구하여라.
도함수는
h′(x)=-6x²+6x+12=-6(x-2)(x+1)
이므로 임계점은 x=-1, 2이다. 구간별로 확인하면
- x<-1에서 x=-2를 대입하면 h′(-2)=-6(-4)(-1)<0
- -1<x<2에서 x=0을 대입하면 h′(0)=-6(-2)(1)>0
- x>2에서 x=3을 대입하면 h′(3)=-6(1)(4)<0
따라서 h는 (-∞,-1)에서 감소, (-1,2)에서 증가, (2,∞)에서 감소한다. 계수의 음수 때문에 부호가 뒤집힐 수 있으므로 인수분해 결과를 원래 도함수와 대조하고, 각 구간의 대입값으로 부호를 확인해야 한다.