용이동 고3 수학과외에서 확인한 법선벡터 풀이의 전환
학생은 문자만 바뀐 공간도형 문제에서 새 조건을 읽기보다 익숙한 평면식을 먼저 재사용했다. 용이동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 평택여자고등학교·한광여자고등학교·이충고등학교 등 평택시 통학권을 참고하되 학생의 이동 시간과 공부 리듬은 따로 살펴보았다.
법선 방향을 바꾸면서 생긴 오답
점 \(P(1,-2,3)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec n=(2,1,-2)\)인 평면을 구하는 과정에서 학생은 다음과 같이 적었다.
오답: \(2(x-1)-(y+2)-2(z-3)=0\)
이 식은 \(y\)의 계수를 임의로 \(-1\)로 바꾸었으므로 법선벡터가 \((2,-1,-2)\)가 된다. 주어진 법선벡터 \((2,1,-2)\)와 방향이 다르기 때문에 틀린 식이다. 법선벡터의 각 성분은 평면의 방향을 결정하므로 문자 모양만 바뀐 것처럼 보여도 부호를 다시 확인해야 한다.
점과 법선벡터의 관계부터 다시 세우기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 평면 위의 점 \(P\)와 임의의 점 \(X(x,y,z)\)를 연결한 벡터가 법선벡터와 수직이라는 조건을 적었다.
\[ \overrightarrow{PX}=(x-1,\ y+2,\ z-3) \]
\[ \vec n\cdot\overrightarrow{PX} =2(x-1)+(y+2)-2(z-3)=0 \]
따라서 정확한 평면식은
\[ 2x+y-2z+6=0 \]
이다. 점 \(P\)를 대입하면 \(2-2-6+6=0\)이고, 식의 계수 \((2,1,-2)\)도 처음 주어진 법선벡터와 일치한다.
답을 구한 뒤 거리와 방향으로 검산하기
평면에서 점 \(Q(3,0,1)\)까지의 거리를 구하면
\[ d=\frac{|2\cdot3+0-2\cdot1+6|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} =\frac{10}{3} \]
이다. 학생은 분모를 \(2+1-2=1\)로 계산하려 했지만, 법선벡터의 크기는 성분의 합이 아니라 제곱합의 제곱근이므로 \(\sqrt9=3\)으로 수정했다.
새 법선 방향으로 독립 검증하기
같은 평면식을 재사용하지 않도록 점 \(A(2,1,-1)\), 법선벡터 \(\vec m=(1,-2,2)\)를 새로 제시했다. 새 평면은
\[ (x-2)-2(y-1)+2(z+1)=0 \]
즉,
\[ x-2y+2z+2=0 \]
이다. \(A\)를 대입하면 \(2-2-2+2=0\)이고, 평면 안의 방향벡터 \((2,1,0)\)에 대해
\[ (1,-2,2)\cdot(2,1,0)=2-2+0=0 \]
이므로 법선벡터와 평면 방향이 수직임을 확인할 수 있다. 또한 점 \(B(1,0,2)\)까지의 거리는
\[ \frac{|1-0+4+2|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac73 \]
이다. 새 문제에서는 이전 평면식을 복사하지 않고, 점의 좌표와 법선 방향을 먼저 연결한 뒤 대입과 내적을 순서대로 검산했다.