용이동고1수학과외, 그래프의 가지 위치로 k의 부호 읽기
평택시 용이동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 서로 다른 학생들은 학교 프린트와 문제집을 공부하는 시간도 달라질 수 있다. 짧은 학습 시간에는 계산을 먼저 끝내려는 경향이 나타나기 쉬운데, 유리함수 y = k/x에서는 그래프의 위치만 먼저 확인해도 k의 부호를 판단할 수 있다.
식보다 먼저 확인할 그래프의 위치
x와 y의 곱을 정리하면
xy = k
이다. 따라서 k > 0이면 x와 y의 부호가 같아야 한다. 그래프의 두 가지는 제1사분면과 제3사분면에 놓인다. 반대로 k < 0이면 x와 y의 부호가 다르므로 제2사분면과 제4사분면에 놓인다. 단, x = 0에서는 식이 정의되지 않으므로 그래프가 좌표축과 만나지 않는다는 점도 함께 확인한다.
결과식만 남은 답안에서 빠진 판단
학교 프린트의 문제 y = k/x의 그래프가 제2사분면과 제4사분면에 있다는 조건을 보고, 한 학생은 답안에 곧바로 k = -6이라고 적었다. 뒤의 계산 결과가 맞더라도 그래프의 가지 위치에서 부호를 판단했다는 흔적은 남아 있지 않았다.
이때 먼저 써야 할 문장은 다음과 같다.
두 가지가 제2·제4사분면에 있으므로 x와 y의 부호가 다르다. 따라서 xy = k < 0이다.
예를 들어 그래프 위의 점이 (-2, 3)이라면 좌표를 식에 대입하여
k = xy = (-2)×3 = -6
을 얻는다. 점의 위치가 제2사분면인 것도 k가 음수라는 판단과 일치한다. 학생이 결과식만 적는 이유를 성격이나 능력으로 단정할 수는 없지만, 현재는 그래프의 위치와 식의 부호를 연결하는 근거를 답안에 표현하는 단계가 충분히 자리 잡지 않은 상태로 볼 수 있다.
계산 전에 말하고, 계산 뒤에 좌표로 확인하기
훈련할 때는 그래프를 본 뒤 바로 숫자를 계산하지 않고, 먼저 “가지가 어느 두 사분면에 있는가”, “그때 x와 y의 부호는 같은가 다른가”를 말하게 한다. 이어서 그래프 위의 점 하나를 골라 k = xy에 대입한다.
제1·제3사분면에 가지가 있고 그래프 위의 점이 (4, -2)라면, 이 점은 제4사분면에 있으므로 해당 그래프와 맞지 않는다. 반면 제2·제4사분면 그래프에서 (4, -2)를 사용하면
k = 4×(-2) = -8
이므로 조건에 맞는다. 이처럼 점의 좌표 순서를 바꾸어 (-2, 4)로 읽으면 곱은 여전히 -8이지만 점의 실제 위치를 설명할 때는 전혀 다른 좌표가 된다. 따라서 가로축 좌표가 x, 세로축 좌표가 y라는 순서를 먼저 표시해야 한다.
문장 속 불필요한 정보와 새 조건에서의 확인
형식이 다른 문제집 문항에서는 “한 점의 x좌표는 5이고, 어떤 점의 세로 좌표는 -3이며, 그래프는 제2·제4사분면에 놓인다”처럼 정보가 섞여 나올 수 있다. 이때 그래프의 부호 판단에 직접 필요한 것은 가지의 사분면과 점의 두 좌표뿐이다. 문제에 제시된 길이, 날짜처럼 k 계산과 관계없는 정보는 제외한다.
새 문항에서 학생이 점을 (5,-3)으로 정확히 읽고, 제4사분면의 위치를 확인한 뒤
k = 5×(-3) = -15
라고 설명하는지 살핀다. 결과만 맞히는 것이 아니라, “x와 y의 부호가 다르므로 k<0”이라는 근거와 좌표 검산을 스스로 남겨야 그래프의 가지 위치를 이용한 판단이 새로운 형식에서도 적용된 것으로 볼 수 있다.