f′(x)=0인 모든 점을 극값으로 적은 순간
비전동 고2수학과외 수업에서 확인한 답안에는 f′(x)=0인 점은 모두 극대 또는 극소라는 문장이 반복되어 있었다. 예를 들어 학생은
f(x)=x³
f′(x)=3x²
f′(0)=0이므로 x=0에서 극소
라고 적었다. 하지만 x가 0의 왼쪽에서 오른쪽으로 움직여도 f′(x)=3x²는 양수이고, 함수는 계속 증가한다. 따라서 x=0은 극대도 극소도 아니다.
도함수의 영점과 극값을 구분하는 변화율 조건
미분 가능한 함수가 내부점 c에서 극대나 극소를 가지면 필요한 조건으로 f′(c)=0을 확인할 수 있다. 그러나 이 조건은 극값의 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다.
극값을 판별할 때는 c의 좌우에서 도함수 부호가 어떻게 변하는지 확인한다.
- f′(x): 양수 → 음수이면 극대
- f′(x): 음수 → 양수이면 극소
- 부호가 바뀌지 않으면 극대·극소로 결론 내릴 수 없음
따라서 답안에는 단순히 f′(c)=0만 남기는 것이 아니라, 정의역 안의 점인지, 좌우 변화율의 부호가 바뀌는지가 함께 기록되어야 한다.
x³과 x⁴에서 달라지는 판별 결과
두 함수를 나란히 비교하면 조건의 필요성이 분명해진다.
① f(x)=x³
f′(x)=3x²
x<0, x>0에서 모두 f′(x)>0
따라서 x=0에서 도함수의 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니다.
② g(x)=x⁴
g′(x)=4x³
x<0에서는 g′(x)<0, x>0에서는 g′(x)>0
음수에서 양수로 바뀌므로 x=0에서 극소이다.
두 함수 모두 원점에서 도함수값은 0이지만, 극값 여부를 결정한 것은 도함수의 영점 자체가 아니라 좌우의 변화율 관계였다.
답안에 남겨야 하는 판별 순서
재풀이에서는 다음 네 줄을 빠뜨리지 않도록 했다.
- 정의역을 확인하고 내부의 후보 c를 찾는다.
- f′(c)=0 또는 f′(c)가 존재하지 않는 점을 후보로 적는다.
- 후보의 왼쪽과 오른쪽에서 f′의 부호를 조사한다.
- 부호 변화에 따라 극대·극소 여부를 결정한다.
예를 들어 f(x)=x³-3x에서
f′(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)
후보: x=-1, 1
x<-1에서 f′(x)>0, -1<x<1에서 f′(x)<0
1<x에서 f′(x)>0
이므로 x=-1에서는 양수에서 음수로 바뀌어 극대, x=1에서는 음수에서 양수로 바뀌어 극소이다. 후보를 찾는 단계와 극값을 확정하는 단계가 서로 다르다는 점을 식으로 남긴 것이다.
누락된 조건을 역으로 복원하는 훈련
답안에서 “f′(x)=0인 모든 점은 극값”이라는 흔적이 보이면, 결론부터 다시 거꾸로 확인한다. 극대 또는 극소라고 적은 점 c에 대해 다음 문장을 복원해 쓰게 한다.
“c의 좌우에서 f′의 부호가 실제로 바뀌었는가?”
부호표를 만들 수 있도록 원래 도함수와 구간을 다시 적는다. x³의 경우에는
f′(x)=3x²
(−∞, 0): +, (0, ∞): +
부호 변화 없음 → 극대·극소 아님
처럼 기록한다. 이렇게 하면 빠진 변화율 조건을 결론에서 원래 식까지 역으로 추적할 수 있다.
비전동의 생활 리듬에 맞춘 독립 확인
비전동에는 비전고등학교, 한광여자고등학교, 신한고등학교, 한광고등학교, 평택고등학교 등이 있고, 반도유보라2단지처럼 주거지와 학교 사이의 이동 시간이 학생마다 다를 수 있다. 따라서 독립 확인에서는 풀이 시간을 재촉하지 않고, 귀가 후 풀이량보다 첫 판단의 정확성을 확인했다.
새 조건으로 다음 함수를 제시했다.
h(x)=x³-6x²+9x
h′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)
학생이 먼저 후보 x=1, 3을 찾은 뒤
x<1: h′(x)>0
1<x<3: h′(x)<0
x>3: h′(x)>0
를 스스로 적는지 확인한다. 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 x=1은 극대, 음수에서 양수로 바뀌는 x=3은 극소이다. 반대로 도함수의 영점만 적고 부호표를 생략한다면, 아직 변화율 조건을 적용하는 판단이 자동화되지 않은 것으로 본다.