비전동고1수학과외, 점근선으로 유리함수 그래프의 평행이동 비교하기
비전동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 만큼, 같은 문제를 풀어도 확보되는 학습 시간이 학생마다 다를 수 있다. 비전고등학교 등 지역 내 학교의 프린트를 복습하는 상황에서도 유리함수 그래프는 식의 부호만 빠르게 바꾸기보다 점근선과 대응점의 변화를 함께 기록해야 한다.
식보다 먼저 대응점을 적어야 하는 이유
기준 함수 y=1/x에서 점 (1, 1)은 그래프 위에 있다. 이 그래프를 오른쪽으로 2, 위로 3만큼 평행이동하면 점은 (3, 4)로 이동하고, 식은 다음과 같이 된다.
y=1/(x-2)+3
따라서 세로점근선은 x=2, 가로점근선은 y=3이다. 좌표의 x값이 1에서 3으로 증가했으므로, 식 안에서는 x를 x-2로 바꾸어야 한다. 그래프의 이동 방향과 식 안의 부호가 반대로 나타나는 이유가 여기에 있다.
부호를 먼저 바꾼 오답이 생긴 자리
학교 문제지에서 두 식 y=1/x와 y=1/(x-2)+3의 관계를 비교하던 학생은 대응점을 적지 않은 채 “x가 2만큼 오른쪽으로 갔으니 식은 y=1/(x+2)+3”이라고 작성했다. 이 식의 세로점근선은 x=-2이므로 실제 그래프의 점근선 x=2와 맞지 않는다.
오류는 계산 과정이 아니라 그래프의 이동을 식의 부호로 바로 번역한 데서 시작되었다. 오답지에는 부호만 고치는 표시를 남기는 것이 아니라, ‘점근선이 바뀐 두 그래프를 평행이동 관점에서 비교하기’ 단계가 빠진 위치를 표시해야 한다.
점근선과 점의 이동을 한 줄에 연결하기
수정할 때는 원래 그래프의 점과 이동 후 점을 먼저 한 쌍으로 적는다.
- (1, 1) → (3, 4)
- 세로점근선 x=0 → x=2
- 가로점근선 y=0 → y=3
이 기록으로 그래프가 오른쪽 2, 위쪽 3만큼 이동했음을 확인한 뒤 식을 쓴다. 실제로 x=3을 대입하면
y=1/(3-2)+3=4
가 되어 대응점 (3,4)를 얻는다. 반대로 잘못 쓴 y=1/(x+2)+3에 x=3을 대입하면 y=1/5+3=16/5이므로 이동한 점과 일치하지 않는다. 중간식을 남겨 두면 부호가 바뀐 줄을 스스로 찾을 수 있다.
서로 다른 두 그래프를 비교하는 기준
이번에는 f(x)=1/x와 g(x)=-1/(x+1)+2를 비교한다. g의 식은 x 대신 x+1이 있으므로 왼쪽 1, 바깥의 +2로 위쪽 2의 이동이다. 다만 앞의 음수 때문에 그래프는 이동과 함께 x축 방향으로 뒤집힌다.
기준 그래프의 점 (1,1)에 대응하는 g의 점은 이동만 적용하면 (0,3)이지만, 반사까지 고려하면 기준 점을 먼저 (-1,-1)로 바꾼 뒤 이동하여 (-2,1)을 얻는다. 따라서 점근선은 x=-1, y=2이며, 식의 부호와 평행이동을 한꺼번에 판단해서는 안 된다.
새 조건에서 중간식을 유지하는지 확인하기
검증 문제로 y=1/x를 왼쪽 3, 아래로 2만큼 이동한 그래프를 제시한다. 학생이 대응점 (1,1)→(-2,-1)을 적고, 점근선 x=0→x=-3, y=0→y=-2를 확인한 뒤
y=1/(x+3)-2
를 얻는지 본다. x=-2를 대입하면 y=1/1-2=-1이므로 대응점도 검산된다. 답만 맞히는지보다 이동 전후 좌표, 점근선, 중간 대입식을 순서대로 유지하는지가 기준이다.
초등 과정의 좌표 읽기와 음수 계산이 필요한 경우에도 그 부분만 짧게 확인한 뒤 현재 문제로 돌아온다. 특히 -2-(-3)=1 같은 계산에서 오류가 생기면 정답을 알려 주기보다 어느 줄에서 부호 처리가 달라졌는지 스스로 표시하게 한다. 비전동의 주거지에서 귀가 후 짧은 시간에 공부하더라도 이 기록 방식이 남아 있으면 이동 방향과 식의 부호를 분리해 점검할 수 있다.