비전동 고3수학과외에서 벡터의 방향과 수직 조건을 구분한 거리 풀이
비전동에는 비전고등학교, 한광여자고등학교, 신한고등학교, 한광고등학교, 평택고등학교 등이 있고, 같은 평택시의 평택여자고등학교는 비전동 소재 학교와 구분해 볼 필요가 있다. 반도유보라2단지처럼 주거지와 학교 사이의 이동 시간이 다른 만큼, 학생의 공부 가능 시간에 맞춰 풀이 과정을 짧게 나누어 점검했다.
내적을 계산하기 전에 벡터의 역할부터 고정하기
직선
l: (x, y) = (1, 2) + t(2, -1)
과 점 P(4, 1) 사이의 거리를 구하는 문제에서 방향벡터는
d = (2, -1)
이다. 직선 위의 방향을 나타내므로, 거리 계산에 바로 사용할 수 있는 수직 방향은 아니다. d에 수직인 법선벡터를
n = (1, 2)
로 잡으면 d·n = 2 - 2 = 0이므로 두 벡터가 수직임을 확인할 수 있다.
학생은 답안에 다음과 같이 적었다.
잘못된 풀이: |(P-A)·d| / |d| = |(3,-1)·(2,-1)| / √5 = 7/√5
이 식은 틀렸다. (P-A)·d는 점 A에서 P로 향하는 벡터를 직선의 방향으로 투영한 값이므로, 직선까지의 수직거리가 아니다. 거리에는 방향벡터가 아니라 법선 방향 성분을 사용해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 수직 성분으로 수정하기
먼저 답안의 내적 계산 줄에 밑줄을 긋고, ‘방향 성분’이라고 표시했다. 이어서 점 A(1, 2)에서 P까지의 벡터를
AP = (4-1, 1-2) = (3, -1)
로 확인했다. 법선벡터 n=(1,2)를 사용하면
거리 = |AP·n| / |n| = |(3,-1)·(1,2)| / √5 = |3-2|/√5 = 1/√5
이다. 실제로 수선의 발을 구해 검산하면 직선 위 점을 Q=(1,2)+t(2,-1)라 둘 때, (P-Q)·d=0이어야 한다. 계산하면 t=1/5, Q=(7/5, 9/5)이고,
P-Q = (13/5, -4/5)
는 d와 내적이 26/5+4/5=6이므로 잘못된 값이다. 따라서 수선의 발 계산을 다시 하면 (P-Q)·d=0에서 2(4-1-2t)-(1+ t)=0, 즉 t=1이 된다. Q=(3,1)이고 P-Q=(1,0)이므로 이 점과 직선의 거리는 1이다. 법선벡터 공식에서 나온 1/√5와 불일치하므로, 법선벡터 n=(1,2)가 직선의 법선이 아니라는 점을 다시 확인해야 한다.
정확한 법선벡터는 n=(1,2)가 아니라 n=(1,2)이며, 직선의 방향벡터 d=(2,-1)과의 내적은 2-2=0이다. 직선의 방정식은 x+2y-5=0이고 P(4,1)을 대입하면 |4+2-5|/√5=1/√5이다. 수선의 발은 Q=(19/5,8/5)이며 P-Q=(1/5,-3/5), d와의 내적은 2/5+3/5=1이므로 다시 계산해야 한다. 정확히 Q=A+s d로 두고 (P-Q)·d=0을 적용하면 s=7/5, Q=(19/5,3/5), P-Q=(1/5,2/5), 거리=1/√5가 된다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 직선
m: (x,y)=(2,-1)+s(1,3)
과 점 R(5,2)를 사용했다. 방향벡터는 u=(1,3), 법선벡터는 v=(3,-1)이며 u·v=3-3=0이다. AR이 아니라 기준점에서 R까지의 벡터는
R-(2,-1)=(3,3)
이므로 거리 후보는
|(3,3)·(3,-1)|/√10 = |9-3|/√10 = 6/√10
이다. 학생은 해설을 보지 않고 방향벡터와 법선벡터를 먼저 분리한 뒤, 방향벡터를 사용한 12/√10을 오답 후보로 적어 스스로 제거했다. 마지막으로 법선 성분만 남긴 6/√10을 정답으로 확정했다.