팔달구고2수학과외

팔달구 고2수학과외, 시그마의 계수를 분리해 합의 구조를 읽는 연습

매교동·우만동·인계동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 긴 문제를 많이 푸는 것보다, 한 줄의 시그마를 어떤 구조로 바꾸는지 확인하는 과정이 중요하다. 창현고등학교, 수원고등학교, 숙지고등학교 등 학교별 프린트의 표현이 달라도 합의 선형성을 적용하는 판단은 변하지 않는다.

Σ(2k+1)에서 2를 빠뜨린 풀이

다음 식을 계산한다고 하자.

∑_k=1ⁿ(2k+1)

풀이 중 학생은 다음처럼 적었다.

∑_k=1ⁿ(2k+1)=∑_k=1ⁿk+∑_k=1ⁿ1

괄호 안의 합을 둘로 나눈 방향은 맞지만, k 앞의 계수 2가 사라졌다. 시그마의 선형성은

∑(au_k+bv_k)=a∑u_k+b∑v_k

이므로 계수도 그대로 분리해야 한다. 따라서

∑_k=1ⁿ(2k+1) =2∑_k=1ⁿk+∑_k=1ⁿ1

이고,

=2·n(n+1)/2+n
=n(n+1)+n
=n(n+2)

이다. 예를 들어 n=3이면 원래 합은 3+5+7=15이고, n(n+2)=3×5=15로 일치한다.

다음 계산 전에 네모 안에 적을 조건

새로운 시그마를 만났을 때 바로 직전 문제의 식을 복사하지 않고, 다음 네 가지를 먼저 표시한다.

• □ 시작 인덱스와 끝 인덱스를 확인했는가?
• □ 괄호 안의 항을 계수와 상수항으로 나누었는가?
• □ 계수의 부호를 그대로 옮겼는가?
• □ 각 시그마의 항 개수가 같은 범위인지 확인했는가?

예를 들어

∑_k=1⁶(5-3k)

에서는

∑_k=1⁶(5-3k) =5∑_k=1⁶1-3∑_k=1⁶k

로 적는다. 첫 번째 합은 항이 6개이므로

=5×6-3×(6×7/2)=30-63=-33

이다. 여기서 -3을 +3으로 바꾸거나, 상수항 5를 한 번만 더하면 선형성이 깨진다.

직접 대입해 결과를 확인하는 방법

변형식의 계산이 끝난 뒤에는 시그마의 항을 실제로 써서 결과를 대조한다.

5-3k에 k=1, 2, 3, 4, 5, 6을 차례로 대입하면

2+(-1)+(-4)+(-7)+(-10)+(-13)=-33

이 된다. 분리한 식의 결과와 직접 더한 결과가 모두 -33이므로 계수와 부호를 올바르게 옮겼는지 확인할 수 있다. 숫자와 계수가 바뀌어도 괄호를 분해하고, 계수·부호·항 개수를 네모로 점검한 뒤, 마지막에 대입 검산하는 흐름이 유지되는지가 핵심이다.