표의 조건을 좌표와 정의로 다시 읽는 쌍곡선 풀이
팔달구에서 창현고등학교, 수원고등학교, 숙지고등학교 등으로 통학한 뒤 방과 후 자습시간에 수학 문제를 다시 푸는 고3 학생은 풀이량보다 조건을 해석하는 순서를 점검할 필요가 있다. 우만동과 인계동처럼 이동 동선이 달라지면 확보되는 공부 시간이 달라지므로, 짧은 시간에도 오답의 원인을 정확히 표시하는 방식으로 학습했다.
초점과 꼭짓점이 주어진 표에서 생긴 오답
문제의 표에는 다음 조건이 제시되어 있었다.
- 두 초점: F1(0, -5), F2(0, 5)
- 두 꼭짓점: (0, -3), (0, 3)
- 쌍곡선의 중심: (0, 0)
학생은 초점이 세로축 위에 있다는 사실을 확인하지 않고 다음과 같이 적었다.
오답: x2/9 - y2/16 = 1
이 식은 가로축 방향으로 열린 쌍곡선이다. 따라서 꼭짓점이 (±3, 0)이고 초점도 (±5, 0)이어야 한다. 주어진 초점과 꼭짓점의 좌표가 모두 세로축 위에 있으므로 이 식은 조건과 맞지 않는 오답이다.
정의에서 표준형을 결정하는 과정
쌍곡선은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점의 자취이다. 꼭짓점 사이의 반거리를 a, 중심에서 초점까지의 거리를 c라 하면 이 문제에서는
a = 3, c = 5
이고, 쌍곡선의 관계식 c2 = a2 + b2에 따라
b2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16
이다. 초점축이 y축 방향이므로 분모의 위치도 함께 바뀐다. 따라서 정확한 식은
y2/9 - x2/16 = 1
이다. 학생은 틀린 줄에 먼저 표시한 뒤, 초점과 꼭짓점의 좌표에서 중심을 찾고 초점축의 방향을 확인했다. 이후 가로형과 세로형을 나란히 적어 조건을 대조했다.
- 가로형: x2/a2 - y2/b2 = 1 → 꼭짓점이 x축 위
- 세로형: y2/a2 - x2/b2 = 1 → 꼭짓점이 y축 위
수정한 식에 꼭짓점 (0, 3)을 대입하면 9/9=1이고, 초점거리도 c2=9+16=25이므로 c=5가 된다. 대입과 역계산이 모두 조건과 일치한다.
평행이동된 새 조건으로 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 조건으로 다시 확인했다.
- 중심: (1, -2)
- 초점: (1, -7), (1, 3)
- 꼭짓점: (1, -6), (1, 2)
초점축은 여전히 세로 방향이고 a=4, c=5이므로
b2 = 52 - 42 = 9
이다. 따라서 새 식은
(y+2)2/16 - (x-1)2/9 = 1
이다. 학생은 이번에는 해설을 보지 않고 초점축, 중심, a와 c의 순서로 판단했다. 직선의 기울기도 바꾸어 점검했다. 이 쌍곡선의 점근선 기울기는 ±4/3인데, 기울기 1/2인 직선 y+2=(x-1)/2를 식에 대입하면 실수 교점이 생기지 않는다. 실제로
(x-1)2/64 - (x-1)2/9 = 1
이 되어 좌변의 계수가 음수이므로 실수해가 없다. 초점축을 잘못 가로 방향으로 잡았을 때와 달리, 새 조건에서도 좌표·방향·식의 구조가 서로 일치하는지 확인할 수 있었다.