팔달구고1수학과외: 전체집합이 바뀌면 여집합도 달라지는 이유
매교동이나 우만동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 짧게 자습하는 시간에는, 집합 문제의 기호를 빠르게 적는 것보다 기준을 먼저 복원하는 일이 중요하다. 여집합은 어떤 집합의 ‘반대 원소’를 무조건 모은 것이 아니라, 정해진 전체집합 안에서 제외되는 원소를 뜻한다.
같은 A라도 U가 달라지면 결과가 달라진다
전체집합을 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 집합을 A = {2, 4, 6}이라고 하자. 이때 A의 여집합은 U에서 A의 원소를 제외하므로
Ac = U - A = {1, 3, 5, 7}
이다. 그런데 전체집합이 V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}로 바뀌면 같은 A를 기준으로 해도
Ac = V - A = {3, 5, 7, 8}
가 된다. 1은 V에 없고 8은 V에 있으므로, 전체집합을 확인하지 않은 채 이전 답을 옮기면 여집합의 기준 자체가 달라진다.
프린트의 U를 생략하면서 기준까지 지워진 경우
수업 프린트에서 앞 문제의 전체집합이 U = {a, b, c, d, e}였고 B = {b, d}를 다룬 뒤, 다음 문제에서 전체집합이 U = {a, b, c, d, e, f}로 바뀌었다고 하자. 학생은 새 문제에서 U를 다시 적지 않고 이전 답인 Bc = {a, c, e}를 그대로 작성했다.
이 식은 이전 전체집합에서는 맞지만 새 전체집합에서는 틀린다. 새 기준에서는
Bc = {a, c, e, f}
이기 때문이다. 학생이 정답을 다시 받아 적은 행동은 있었지만, ‘여집합은 전체집합 안에서만 정해진다’는 문장으로 기준을 확인하지 않았으므로 개념 이해가 적용까지 이어진 상태라고 보기 어렵다.
답을 고치기 전에 전체집합을 풀이의 첫 줄로 복원하기
이 유형에서는 계산을 늘리기보다 풀이 순서를 바꾼다. 문제에 주어진 전체집합을 먼저 적고, 그 안에서 제외할 원소를 표시한다.
- U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
- C = {0, 2, 5}
- U에서 C의 원소를 제외한다.
- Cc = {1, 3, 4, 6}
오답노트에는 긴 해설 대신 “여집합을 쓰기 전 U부터 적기”라는 바뀐 행동 한 가지를 남긴다. 이 한 줄이 있으면 이전 문제의 범위를 무심코 재사용했는지 풀이 중 바로 확인할 수 있다.
그림으로 바꾸어도 기준이 유지되는지 확인하기
새 문제에서 전체집합을 좌표평면의 점으로 나타내 보자. U = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1)}, D = {(1, 1), (3, 3)}라면 D의 여집합은 U에 속하면서 D에는 속하지 않는 점이다.
따라서
Dc = {(1, 3), (3, 1), (5, 1)}
이다. 좌표값이 바뀌어 점의 위치가 달라져도 먼저 U의 점을 모두 표시하고 D의 점을 제외해야 한다. 그림에서 두 점 사이의 길이, 각, 평행 여부를 묻는 조건이 추가되더라도 그 조건은 필요한 성질을 고르는 데 쓰일 뿐, 여집합의 기준인 U를 대신하지 않는다.
통학 뒤 짧은 시간에 확인할 판단
수원고등학교나 숙지고등학교 등 학교별 생활과 이동 시간이 다를 수 있으므로, 귀가 전후의 짧은 복습에서는 집합 문제 한 개를 풀고 다음 두 문장을 직접 확인하게 한다.
“여집합은 전체집합의 원소 중에서 해당 집합에 속하지 않는 원소이다.”
“전체집합이 바뀌면 같은 집합의 여집합도 다시 구해야 한다.”
새 좌표 문제에서 학생이 그림의 위치만 보고 답을 고르지 않고, 바뀐 전체집합을 먼저 적은 뒤 제외 원소를 표시한다면 이전 범위를 반복하는 오류가 실제로 수정된 것으로 볼 수 있다.