인계동고2수학과외

인계동고2수학과외, 시그마 인덱스 치환에서 시작값을 놓치지 않는 풀이

인계동에서는 수원공업고등학교가 지역 내 확인 학교이고, 창현고등학교·수원고등학교·숙지고등학교·수원여자고등학교는 같은 팔달구의 참고 학교다. 인계선경아파트나 인계동파밀리에아파트처럼 생활권이 달라 귀가와 자습 시간이 달라질 수 있지만, 시그마 문제에서 반복된 실수는 생활 리듬보다 계산 줄을 통해 원인을 확인해야 한다.

j=k-1로 바꾼 뒤 왜 시작값도 달라지는가

다음 합을 계산해 보자.

∑_k=1⁵(2k+1)

학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

j=k-1이므로 ∑_j=1⁴(2j+3)

치환식 자체는 k=j+1이므로 2k+1=2(j+1)+1=2j+3으로 바뀌는 것이 맞다. 그러나 k=1일 때 j=0이고, k=5일 때 j=4이다. 따라서 정확한 식은

∑_j=0⁴(2j+3)

이다. 학생의 식은 첫 항 3을 빠뜨렸기 때문에 5+7+9+11=32가 된다. 원래 합은

3+5+7+9+11=35

이므로 마지막 값을 35로 고쳐 적는 것만으로는 오류가 해결되지 않는다. 인덱스의 시작값과 끝값, 그리고 항의 개수가 함께 바뀌었는지를 계산 줄에서 추적해야 한다.

합 공식보다 먼저 확인할 네 가지

인덱스를 치환할 때는 다음 조건을 식 옆에 네모로 적는다.

• □ 치환 관계: k=j+1
• □ 새 시작값: k=1이면 j=0
• □ 새 끝값: k=5이면 j=4
• □ 항의 개수: 5개에서 5개로 유지

그다음에야 합을 계산한다.

∑_j=0⁴(2j+3)=2∑_j=0⁴j+3∑_j=0⁴1

여기서 ∑_j=0⁴j=10이고, 상수항은 5번 더해지므로

2×10+3×5=35

가 된다. 합 공식의 계산 실수처럼 보였지만 실제로는 공식에 들어가기 전 인덱스 범위를 잘못 옮긴 것이 원인이었다.

조건 네 칸을 가린 뒤 새로운 치환에 적용하기

앞의 예제를 보지 않은 상태에서 다음 식을 처리한다.

∑_k=2⁶(3k-1)

이번에는 j=k-2로 두면 k=j+2이다. 따라서

k=2 → j=0, k=6 → j=4

이고 식은

∑_j=0⁴(3j+5)

로 바뀐다. 항을 직접 확인하면 5, 8, 11, 14, 17이므로 항의 개수는 5개이며 합은

5+8+11+14+17=55

이다. 시작값을 j=1로 두면 5를 누락하게 되므로, 이번에도 답만 비교하지 않고 치환식·양 끝 인덱스·항의 개수를 순서대로 확인해야 한다.