인계동고1수학과외, 괄호와 여집합을 기준으로 집합식 읽기
인계동의 고1 수학 학습에서는 집합 기호를 아는 것과 식 전체의 처리 순서를 지키는 것이 서로 다른 문제로 나타날 수 있다. 수원공업고등학교처럼 지역 안에서 통학 시간이 비교적 일정한 학생도 있고, 인계선경아파트나 인계동파밀리에아파트 등 주거지에서 학교까지 이동 시간이 달라 귀가 후 학습 시간이 짧은 학생도 있다. 같은 팔달구의 창현고등학교, 수원고등학교, 숙지고등학교, 수원여자고등학교는 참고 학교이며 인계동 소재 학교와는 구분해야 한다. 짧은 시간에 집합식을 풀 때일수록 보이는 항부터 계산하지 말고 식의 구조를 먼저 읽어야 한다.
전체집합이 달라졌는데 여집합을 그대로 둔 장면
전체집합을 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,4,7}, B={2,3,5,7}이라 하자. 학교 프린트에 다음 식이 제시되었다.
(A∪Bc)∩Ac
학생은 세 식이 이어진다는 이유로 왼쪽의 A∪Bc부터 계산하지 않고, 눈에 먼저 들어온 A와 B를 처리하여 A∪B={1,2,3,4,5,7}을 만든 뒤 여집합을 {6,8}로 적었다. 그러나 이 식에서 Bc는 B의 여집합이고, 그 기준은 반드시 전체집합 U이다. 또한 괄호 안의 합집합을 먼저 끝낸 다음 Ac와 교집합을 계산해야 한다.
여집합의 기준은 식 바깥의 전체집합이다
주어진 전체집합에서 먼저 여집합을 구하면
Bc=U＼B={1,4,6,8}, Ac=U＼A={3,5,6,8}이다.
따라서 괄호 안은
A∪Bc={1,2,4,6,7,8}
이고, 마지막 교집합은
(A∪Bc)∩Ac={1,2,4,6,7,8}∩{3,5,6,8}={6,8}
이다. 학생이 적은 {6,8}이라는 결과 자체는 우연히 같지만, 그 과정에서 Bc를 만들지 않고 A∪B를 먼저 여집합 처리한 것은 이 식을 해결한 근거가 아니다. 전체집합이 바뀌면 같은 B라도 여집합이 달라진다.
계산 전에 식의 항에 번호를 붙이는 훈련
풀이를 시작할 때 식에 다음처럼 표시한다.
- ① 괄호 안의 A∪Bc를 계산한다.
- ② 전체집합 U를 기준으로 Ac를 계산한다.
- ③ ①과 ②의 교집합을 구한다.
여집합 기호가 보이면 먼저 “어떤 전체집합에서 빼는가”를 옆에 적고, 괄호가 있으면 괄호 안의 연산을 한 줄로 끝낸 뒤 다음 단계로 넘어간다. 인계동에서 귀가 후 30분처럼 짧은 학습 시간에 문제를 풀더라도 이 세 줄의 표시는 계산을 늦추기보다 전체집합을 이전 문제에서 잘못 가져오는 오류를 막아 준다.
전체집합을 바꾼 새 식으로 순서를 확인하기
같은 식을 다시 풀어 맞힌 것만으로는 충분하지 않다. 전체집합을 V={1,2,3,4,5,6}로 바꾸고, C={1,3,6}, D={2,3,5}에 대해
(C∩Dc)∪Cc
를 제시한다. 먼저 Dc={1,4,6}, C∩Dc={1,6}, Cc={2,4,5}이므로 결과는 {1,2,4,5,6}이다.
이때 학생이 V를 기준으로 여집합을 다시 만들고, ① 괄호 안 교집합, ② C의 여집합, ③ 합집합의 순서를 스스로 표시하는지 본다. 이전 U에서의 여집합을 옮겨 적거나 괄호 밖의 합집합부터 계산하면 해당 학습 항목은 아직 끝난 것으로 보지 않는다.
새 교재보다 먼저 확인할 한 문제
시험 직전에는 새로운 유형을 많이 펼치기보다, 전체집합과 괄호가 달라진 집합식 한 문제를 남겨 두고 위 순서를 재현하는지 확인한다. 결과만 맞는지보다 여집합의 기준을 새로 설정했는지, 괄호 안 연산을 먼저 수행했는지, 마지막 연산까지 식으로 남겼는지를 확인해야 한다. 이 행동이 조건이 바뀐 문제에서도 이어질 때 집합 연산 해석이 실제 풀이 절차로 자리 잡았다고 판단할 수 있다.