인계동 고3수학과외, 초점과 준선 조건을 식으로 끝까지 확인하기
인계동에서 통학하는 학생은 수원공업고등학교처럼 지역 안의 학교를 다니는 경우와, 팔달구 내 창현고등학교·수원고등학교·숙지고등학교·수원여자고등학교 등으로 이동하는 경우 생활 리듬이 다를 수 있다. 인계선경아파트나 인계동파밀리에아파트처럼 주거지에서 학교와 학원까지의 이동 시간이 다른 만큼, 풀이 점검도 짧은 시간에 핵심 조건을 확인하는 방식으로 진행했다.
마지막 답보다 먼저 확인한 첫 번째 불일치
학생은 초점과 준선의 거리가 같은 포물선 문제에서 해설의 최종식만 비교했다. 다음 조건을 풀 때도 준선까지의 거리를 잘못 계산한 뒤 마지막에 부호만 바꾸려 했다.
초점이 \(F(2,1)\)이고 준선이 \(x=-2\)인 포물선의 방정식을 구하여라.
포물선 위의 점을 \(P(x,y)\)라 하면 초점까지의 거리는
\[ PF=\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} \]
이다. 그런데 학생은 준선 \(x=-2\)까지의 수평거리를 \(|x-2|\)로 적어 다음과 같이 계산했다.
오답: \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x-2|\)
이 식은 준선의 위치를 사용하지 않은 잘못된 식이다. \(x=-2\)까지의 거리는 점의 \(x\)좌표와 준선의 \(x\)좌표 차이이므로 \(|x-(-2)|=|x+2|\)이다. 학생의 식을 제곱하면 \((y-1)^2=0\)만 남아 직선 \(y=1\)이 되는데, 이는 포물선이 아니며 준선 조건도 반영하지 못한다.
조건을 괄호로 묶어 식을 다시 세우는 과정
틀린 줄에 표시한 뒤 학생은 초점의 좌표와 준선의 방정식을 따로 적었다.
- 초점 \(F(2,1)\): \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}\)
- 준선 \(x=-2\): \(|x-(-2)|=|x+2|\)
따라서 정확한 조건은
\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2| \]
이다. 양변은 거리이므로 제곱할 수 있고, 괄호를 유지한 채 전개했다.
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=(x+2)^2 \]
\[ x^2-4x+4+(y-1)^2=x^2+4x+4 \]
\[ \boxed{(y-1)^2=8x} \]
검산을 위해 꼭짓점 \((0,1)\)을 대입하면 초점까지 거리는 \(2\), 준선까지 거리도 \(|0+2|=2\)이다. 또 \((2,5)\)를 대입하면 \((5-1)^2=16\), \(8\cdot2=16\)이므로 방정식이 맞다. 학생은 이처럼 부호만 고치는 대신, 준선의 좌표를 식에 넣었는지 먼저 확인하는 방식으로 수정했다.
평행이동된 조건으로 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 초점과 준선을 바꾸어 확인했다.
초점이 \(F(3,-2)\), 준선이 \(x=-1\)일 때 포물선의 방정식을 구하여라.
점 \(P(x,y)\)에 대해
\[ \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2}=|x+1| \]
이므로
\[ (x-3)^2+(y+2)^2=(x+1)^2 \]
\[ x^2-6x+9+(y+2)^2=x^2+2x+1 \]
\[ \boxed{(y+2)^2=8(x+1)} \]
꼭짓점은 초점과 준선 사이의 중점인 \((1,-2)\)이다. 이 점에서 초점까지 거리와 준선까지 거리는 각각 \(2\)로 같고, 점 \((3,2)\)를 대입해도 \((2+2)^2=16\), \(8(3+1)=32\)가 아니므로 포물선 위의 점이 아님을 확인했다. 좌표와 준선의 부호를 바꾼 새 조건에서도 같은 거리 관계가 유지되는지 검산하며, 첫 번째 오답이 단순 계산 실수가 아니라 준선 좌표를 누락한 데서 생겼음을 분명히 했다.