우만동고2수학과외

우만동고2수학과외, 시그마 인덱스가 바뀌면 범위도 함께 바뀌어야 합니다

우만3단지와 우만동4단지 생활권에서 창현고등학교·유신고등학교의 학교 프린트와 주간 학습량을 병행하다 보면, 수열의 합을 계산하는 과정에서 식보다 인덱스 범위를 먼저 읽어야 하는 순간이 생깁니다. 같은 팔달구의 수원고등학교, 숙지고등학교, 수원여자고등학교는 참고 학교일 뿐이며, 학교별 일정에 따라 풀이를 점검할 시간을 다르게 배분할 수 있습니다.

j=k-1이면 시작값 1도 그대로 둘 수 없다

다음 합을 보자.

∑_k=1ⁿ(2k+3)

인덱스를 j=k-1로 치환하면 k=j+1이므로 항은

2k+3=2(j+1)+3=2j+5

가 된다. 이때 k=1일 때 j=0이고, k=n일 때 j=n-1이다. 따라서 정확한 식은

∑_j=0^n-1(2j+5)

이다. 그런데 풀이 첫 줄에서 인덱스만 j로 바꾸고

∑_j=1ⁿ(2j+5)

라고 쓰면 시작 항과 끝 항이 모두 달라진다. 원래 합의 첫 항은 5이지만 잘못 바꾼 식의 첫 항은 7이며, 원래 마지막 항은 2n+3인데 잘못된 식은 2n+5이다. 학생이 계산을 이어 가기 전에 “인덱스를 바꾸면서 양 끝 범위를 함께 변환하지 않았다”라고 오류 원인을 적게 하는 이유가 여기에 있다.

항의 모양보다 k와 j의 대응표를 먼저 남긴다

풀이를 지우고 처음부터 다시 쓰는 대신, 오류가 난 줄만 다음처럼 고친다.

k=1 → j=0
k=n → j=n-1
k=j+1

그 뒤에

∑_k=1ⁿ(2k+3)=∑_j=0^n-1(2j+5)

라고 적는다. 예를 들어 n=3이면 왼쪽은 5+7+9=21이고, 오른쪽도 j=0,1,2를 대입해 5+7+9=21이다. 인덱스의 이름은 바뀌었지만 실제 항의 개수와 항의 순서는 보존되어야 한다.

범위를 거꾸로 읽어도 항의 개수는 유지되는가

새로운 식으로 다음을 확인한다.

∑_k=3ⁿ⁺²(k²-k)

이번에는 i=k-2로 두면 k=i+2이다. 경계값은 k=3에서 i=1, k=n+2에서 i=n이므로

∑_k=3ⁿ⁺²(k²-k) =∑_i=1ⁿ((i+2)²-(i+2)) =∑_i=1ⁿ(i²+3i+2)

가 된다. n=2를 대입하면 원래 식은 k=3,4에서 6+12=18이고, 치환한 식은 i=1,2에서 6+12=18이다. 인덱스를 어느 방향으로 읽더라도 시작값과 끝값을 새 변수로 바꾼 뒤 항의 개수를 대조해야 한다.