우만동 고3 수학과외에서 다룬 초점·준선 좌표 풀이
우만동의 창현고등학교와 유신고등학교 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 이차곡선 문제도 공식을 빠르게 적용하기보다 조건을 좌표식으로 옮기는 풀이를 점검해야 한다. 같은 팔달구의 수원고등학교·숙지고등학교·수원여자고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 학생의 실제 오답 과정에 맞춰 학습을 진행했다.
공식보다 먼저 확인한 초점과 준선
학생에게 초점이 \(F(2,1)\), 준선이 \(x=-2\)인 포물선의 방정식을 구하게 했다. 학생은 꼭짓점이 초점과 준선 사이의 중점인 \(V(0,1)\)이라는 점은 찾았지만, 초점과 준선의 위치를 식에 연결하지 않은 채 다음과 같이 적었다.
학생의 오답: \(p=2\)이므로 \((y-1)^2=4px=8x\)가 아니라, 초점의 x좌표가 2이므로 \((y-1)^2=4x\)
이 식은 틀렸다. 초점의 x좌표 2를 그대로 \(p\)로 사용할 수 없기 때문이다. \(p\)는 꼭짓점에서 초점까지의 방향 있는 거리이며, 이 경우 꼭짓점 \(V(0,1)\)에서 초점 \(F(2,1)\)까지의 거리가 \(2\)이므로 \(p=2\)이다. 따라서 계수는 \(4p=8\)이어야 한다.
거리의 정의를 방정식으로 바꾼 수정 과정
학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고, 꼭짓점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리를 따로 확인했다. 포물선 위의 점을 \(P(x,y)\)라 하면 초점·준선 정의에 따라
\[ PF=\text{점 }P\text{에서 준선 }x=-2\text{까지의 거리} \]
이므로
\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2| \]
이다. 양변을 제곱하면
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=(x+2)^2 \]
\[ x^2-4x+4+(y-1)^2=x^2+4x+4 \]
따라서
\[ \boxed{(y-1)^2=8x} \]
를 얻는다. 마지막으로 꼭짓점 \((0,1)\)을 대입하면 \(0=0\)이고, 초점 \((2,1)\)을 기준으로 \(x\)축 방향으로 열리며 준선이 \(x=-2\)라는 조건도 일치한다. 학생은 이 과정을 통해 \(p\)를 초점 좌표에서 읽는 것이 아니라 꼭짓점과 초점의 상대적 위치에서 정해야 함을 확인했다.
초점과 준선을 이동한 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 초점 \(F(-1,3)\), 준선 \(x=5\)인 경우를 새로 제시했다. 두 대상의 중간에 있는 꼭짓점은 \(V(2,3)\)이고, 포물선은 왼쪽으로 열린다. 꼭짓점에서 초점까지의 방향 있는 거리는 \(p=-3\)이므로
\[ (y-3)^2=4(-3)(x-2) \]
\[ \boxed{(y-3)^2=-12(x-2)} \]
이다. 학생은 첫 줄에 초점과 준선의 위치를 표시한 뒤 이 식을 작성했다. 꼭짓점 \((2,3)\)을 대입하면 양변이 0이고, 초점 \((-1,3)\)에서 꼭짓점까지의 거리는 3, 준선 \(x=5\)까지의 거리도 3이므로 정의에 의한 검산도 통과했다.