우만동고1수학과외, 벤다이어그램으로 드모르간 법칙 확인하기
우만동의 창현고등학교와 유신고등학교 학생이 학교 프린트의 집합 문제를 풀 때, 기호를 계산하듯 바꾸기보다 영역의 색칠 결과로 확인하는 과정이 필요하다. 우만3단지와 우만동4단지 등 생활권에서 귀가한 뒤 확보되는 짧은 시간에는 한 문제를 정확히 그려 보는 방식이 효과적이다. 같은 팔달구의 수원고등학교, 숙지고등학교, 수원여자고등학교는 참고 학교일 뿐 우만동 소재 학교와 동일하게 단정할 수 없으며, 학교별 주간 일정에 따라 확인할 문제의 양도 달라질 수 있다.
여집합 기호만 붙인 풀이에서 생긴 변화
전체집합을 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={1,2,4,7}, B={2,3,5,7}로 두자. 학생은 다음 식에서 괄호 안의 합집합 기호를 그대로 둔 채 여집합만 붙였다.
(A∪B)c = Ac∪Bc
이 식은 학생이 작성한 오답이다. 풀이 시작 전에 법칙 이름을 적지 않았고, 벤다이어그램에서 어떤 영역이 남는지도 확인하지 않았다. 따라서 현재 상태는 공식을 전혀 외우지 못한 경우라기보다, 여집합을 취할 때 내부의 연산 기호까지 함께 바뀐다는 판단이 실제 그림으로 연결되지 않은 상태다.
색칠한 영역이 기호의 방향을 결정한다
먼저 A∪B={1,2,3,4,5,7}이므로 그 여집합은
(A∪B)c={6,8,9,10}
이다. 벤다이어그램에서는 A 또는 B 안에 들어간 영역을 모두 색칠한 뒤, 두 원 바깥쪽만 남긴다.
반면 Ac={3,5,6,8,9,10}, Bc={1,4,6,8,9,10}이므로 두 여집합의 교집합은
Ac∩Bc={6,8,9,10}
이다. 두 집합의 여집합을 동시에 만족하려면 A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않아야 한다. 벤다이어그램으로는 두 원 바깥의 공통 영역이므로 교집합 기호가 필요하다. 따라서
(A∪B)c=Ac∩Bc
가 성립한다. 같은 방식으로 (A∩B)c=Ac∪Bc도 확인할 수 있다. A∩B에 속하는 원소는 2와 7뿐이므로 그 여집합은 {1,3,4,5,6,8,9,10}이고, Ac∪Bc도 이 집합과 같다.
수정할 때 실제로 남겨야 하는 한 줄
틀린 줄을 지운 뒤에는 기호만 암기해서 고치지 않는다. 벤다이어그램에서 먼저 A∪B 부분을 한 덩어리로 표시하고, 그 바깥을 색칠한다. 이어서 Ac와 Bc를 각각 표시해 겹치는 영역을 찾는다. 두 결과의 색칠 영역이 같다면 합집합이 교집합으로 바뀌었다는 판단이 확인된다.
이때 오류 원인은 계산 오류가 아니라 개념과 표현이 연결되지 않은 오류로 기록한다. 여집합 기호를 붙이는 동작만 수행했고, ‘A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는다’라는 조건을 영역으로 바꾸지 않았기 때문이다. 정답을 맞힌 뒤에도 여집합과 함께 ∪·∩이 바뀌는지 표시하지 않았다면 해당 판단은 아직 재확인 대상으로 둔다.
표의 단위를 바꾼 자료에서 다시 확인하기
새 문제에서는 원소 대신 동아리 참여 인원을 표로 제시한다. 전체 학생 20명 중 수학 동아리 참여 집합을 A, 독서 동아리 참여 집합을 B라 하고 다음 자료를 사용한다.
- A에만 속한 학생: 6명
- B에만 속한 학생: 5명
- A와 B에 모두 속한 학생: 3명
- 어느 동아리에도 속하지 않은 학생: 6명
A∪B에 속하지 않는 학생은 두 동아리에 모두 참여하지 않은 6명이다. 이를 여집합의 교집합으로 표현하면 (A∪B)c=Ac∩Bc가 된다. 표에서는 A와 B의 바깥쪽 행을 따로 표시하고, 두 조건을 동시에 만족하는지 확인해야 한다. 숫자와 자료의 단위가 원소 목록에서 학생 수로 바뀌었어도, ‘둘 다 속하지 않음’이므로 ∩을 선택하는 풀이 순서가 유지되는지 본다.
다음에는 (A∩B)c를 같은 표로 표현하게 한다. 모두 참여한 3명을 제외한 17명이 답이므로 (A∩B)c=Ac∪Bc로 나타내야 한다. 새 자료에서도 학생이 여집합을 취한 뒤 ∪와 ∩의 변화를 벤다이어그램 또는 표의 영역으로 동시에 확인하면, 같은 문제를 외워 푼 것이 아니라 드모르간 법칙의 조건을 독립적으로 적용한 것으로 판단한다.