와동동고2수학과외에서 증가·감소를 다룰 때 자주 생기는 오류는 도함수의 영점만 찾고 각 구간의 부호를 확인하지 않는 것이다. 지산고등학교 내신을 준비하는 과정에서도 학교 프린트나 주간 학습 일정에 따라 풀이 시간이 짧아지면 이 판단이 생략되기 쉽다. 같은 파주시의 동패고등학교, 한빛고등학교 등 참고 학교와도 출제 자료는 다를 수 있으므로, 문제의 조건에 맞는 부호 판정이 우선이다.
f′(x)=0인 점만으로 증가·감소를 결정할 수 없는 이유
함수 f(x)=x3-3x의 증가와 감소를 조사해 보자.
f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)
먼저 도함수가 0이 되는 점은 x=-1, 1이다. 그러나 이 두 값은 구간을 나누는 기준일 뿐, 증가·감소를 바로 결정하는 답은 아니다. 수직선에 -1과 1을 표시하면 세 구간이 생긴다.
| 구간 | 시험값 | f′(x)의 부호 | 변화 |
|---|---|---|---|
| x<-1 | x=-2 | + | 증가 |
| -1<x<1 | x=0 | - | 감소 |
| x>1 | x=2 | + | 증가 |
따라서 이 함수는 x<-1, x>1에서 증가하고, -1<x<1에서 감소한다. 도함수가 0인 x=-1, 1에서는 부호가 바뀌는지까지 살펴야 한다.
부호표 없이 적은 줄과 수정한 줄을 나란히 비교하기
풀이 기록에는 다음과 같은 오류가 남을 수 있다.
잘못된 줄
f′(x)=0 → x=-1, 1 → 증가·감소 판단 완료
이 줄은 임계점만 구했을 뿐 어느 구간에서 도함수가 양수 또는 음수인지 말하지 않는다. f′(x)=0이라고 해서 그 점을 기준으로 항상 증가와 감소가 바뀐다고 단정할 수도 없다.
수정한 줄
f′(x)=0 → x=-1, 1 → 각 구간의 f′(x) 부호 조사 → 증가·감소 결정
달라진 기호 하나는 화살표 뒤에 추가한 “각 구간의 부호 조사”이다. 실제 답안에서는 시험값을 하나씩 대입해 부호를 남긴다.
f′(-2)=3(−2−1)(−2+1)=9>0
f′(0)=3(0−1)(0+1)=−3<0
f′(2)=3(2−1)(2+1)=9>0
도함수의 부호가 바뀌지 않는 경우도 확인하기
새 문제로 g(x)=x3+3x2+3x의 증가·감소를 조사한다.
g′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2
g′(x)=0인 점은 x=-1 하나다. 하지만 3(x+1)2≥0이므로 x=-1을 제외한 모든 구간에서 도함수는 양수이다. 실제로
g′(-2)=3>0, g′(0)=3>0
이므로 g(x)는 전체 실수에서 증가한다. x=-1에서 도함수가 0이지만 증가에서 감소로, 또는 감소에서 증가로 바뀌지 않는다. 이처럼 영점의 존재와 부호 변화 여부는 구별해야 한다.
마지막으로 답안을 닫기 전에는 임계점만 적혀 있지 않은지, 각 구간의 시험값과 부호가 남아 있는지, 부호 변화가 실제로 증가·감소 변화와 일치하는지를 확인한다.