와동동 고3수학과외에서 정리한 평면의 방향과 법선
지산고등학교를 다니며 와동동에서 공부하는 학생은 주간 일정에 따라 수학 풀이 시간이 달라졌고, 같은 파주시의 동패고등학교·한빛고등학교·한민고등학교·교하고등학교 학생과 학습 계획을 동일하게 단정하기보다 자신의 오답 흐름을 기준으로 개념을 점검했다.
법선벡터를 방향벡터로 사용한 오답
평면 2x-y+2z=5에서 법선벡터는 식의 계수로부터
n=(2,-1,2)
이다. 학생은 이 벡터를 평면 위의 방향벡터라고 판단하여 평면 위 직선의 방향을 d=(2,-1,2)로 적었다. 그러나 방향벡터는 평면 안에서 움직이는 벡터이고, 법선벡터는 평면에 수직인 벡터이므로 역할이 다르다.
오답: 평면의 방향벡터 d=(2,-1,2)
이유: d·n=2·2+(-1)·(-1)+2·2=9≠0
평면 위의 방향벡터는 법선벡터와 수직이어야 한다. 따라서 d=(a,b,c)라면
2a-b+2c=0
을 만족해야 한다. 예를 들어 d=(1,2,0)은
2·1-2+2·0=0
이므로 평면 안의 방향벡터가 될 수 있다. 반면 n=(2,-1,2)은 평면에 수직인 법선벡터다.
틀린 줄을 표시하고 관계식으로 다시 확인하기
학생은 계산 흔적에서 ‘방향벡터 d=(2,-1,2)’라고 쓴 줄에 표시한 뒤, 먼저 변수와 벡터의 역할을 분리했다.
- n=(2,-1,2): 평면에 수직인 법선벡터
- d=(a,b,c): 평면 위에서 움직이는 방향벡터
- d·n=0: 방향벡터와 법선벡터의 수직 조건
그다음 d=(1,2,0)을 대입해 내적이 0인지 확인하고, 평면 위의 점 P=(1,1,2)에서 이 방향으로 움직인 점을
P+t d=(1+t,1+2t,2)
로 나타냈다. 이를 평면식에 대입하면
2(1+t)-(1+2t)+2·2=5
2+2t-1-2t+4=5
가 되어 모든 실수 t에서 평면식을 만족한다. 방향벡터가 실제로 평면 안의 직선을 만드는지 역대입으로 검산한 것이다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 평면을
-x+3y+2z=4
로 바꾸어 확인했다. 이때 법선벡터는 n=(-1,3,2)이고, 방향벡터 후보를 d=(3,1,0)으로 정했다.
d·n=3·(-1)+1·3+0·2=0
이므로 d는 평면 위 방향벡터다. 점 Q=(1,1,1)에서 출발하면
Q+t d=(1+3t,1+t,1)
이고, 평면식에 대입하면
-(1+3t)+3(1+t)+2=4
-1-3t+3+3t+2=4
가 성립한다. 계수와 방향벡터를 바꾼 뒤에도 내적 0과 평면식 역검산을 혼자 완성하면서, 법선벡터는 수직 방향이고 방향벡터는 평면 내부 방향이라는 기준을 재현했다.