와동동고1수학과외, 유리함수 방정식에서 분모 0을 해에서 걸러내기
지산고등학교의 학교 프린트를 정리하던 중, 다음 풀이가 눈에 띄었다.
(x+1)/(x-2)=3/(x-2)
x+1=3
x=2
계산 과정만 보면 자연스럽지만, x=2는 원래 식에 대입할 수 없는 값이다. 양변의 분모가 모두 x-2이므로 x=2일 때 분모가 0이 되기 때문이다. 이 문제의 실제 해는 없다.
지워진 풀이에서는 분모 조건이 사라진다
이 학생은 막힌 위치를 표시하지 않고 식 전체를 지운 뒤 처음부터 다시 썼다. 따라서 왜 x=2가 나왔는지, 분모 조건을 언제 놓쳤는지 확인할 흔적이 남지 않았다. 풀이를 시작하기 전에도 ‘분모 0 값이 해로 섞이지 않게 검산’이라는 확인을 적지 않았고, 계산이 끝난 뒤 원래 식에 값을 넣는 과정도 생략했다.
유리함수 방정식에서는 먼저 분모가 0이 되지 않는 조건을 적어야 한다. 위 식에서는
x-2≠0, 따라서 x≠2
이다. 그다음 분모를 없애면
(x+1)/(x-2)=3/(x-2)에서 x+1=3을 얻고, 계산 결과는 x=2이다. 그러나 이 값은 앞에서 정한 제외값이므로 해로 채택하지 않는다. 즉, 방정식을 변형해 얻은 후보와 원래 식의 해는 항상 같은지 확인해야 한다.
후보를 얻은 뒤 원래 식으로 되돌아가기
풀이를 고칠 때는 한 줄을 추가하는 방식으로 행동을 고정했다. 식을 쓰기 전에는 분모를 찾아 제외값을 표시하고, 해 후보가 나온 뒤에는 그 값을 원래 식에 대입한다.
예를 들어
(2x-1)/(x+3)=5/(x+3)
에서는 먼저 x≠-3을 적는다. 양변에 x+3을 곱하면
2x-1=5, 따라서 x=3
이다. x=3을 원래 식에 대입하면
(2·3-1)/(3+3)=5/6, 오른쪽도 5/(3+3)=5/6
이므로 x=3은 실제 해다. 반대로 후보가 -3이었다면 계산 결과가 나왔더라도 분모 조건에 의해 즉시 제외해야 한다.
풀이 앞뒤에 같은 질문을 배치하기
와동동에서 학교별 주간 일정에 맞춰 짧게 문제를 풀 때도, 긴 오답 정리보다 두 번의 확인을 남기는 방식이 효과적이다. 풀이 전에는 “분모가 0이 되는 값은 무엇인가?”를 적고, 풀이 후에는 “구한 값을 원래 식에 넣어도 분모가 0이 아닌가?”를 확인한다.
- 풀이 전: 모든 분모를 0으로 만드는 값을 제외한다.
- 계산 후: 얻은 후보가 제외값과 겹치는지 비교한다.
- 겹치지 않으면 원래 식의 양변에 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.
이 과정을 통해 학생은 식 전체를 지우는 대신, 분모 조건을 놓친 지점과 검산이 빠진 지점을 답안에 남기게 된다.
문제의 표현이 바뀌어도 같은 조건을 찾는지 확인하기
연습한 식을 그대로 다시 풀지 않고, 수행평가 자료를 지필형 문항으로 바꾼 형태의 새 문제를 제시했다.
1/(x-4)+2/(x-4)=3/(x-4)
학생이 먼저 x≠4를 적은 뒤, 분모를 없애
1+2=3
을 확인하면 모든 x≠4가 해가 된다. 이때 x=4는 식 자체가 정의되지 않으므로 해에 포함되지 않는다. 문제의 배열이나 표현이 달라져도 분모를 찾아 제외값을 추적하고, 마지막에 원래 식의 정의 가능 여부를 판단한다면 같은 개념을 적용한 것으로 본다.
반대로 x≠4를 적지 않고 “항상 성립하므로 모든 실수”라고 답하면, 계산 결과는 맞게 읽었어도 유리함수 방정식의 해의 범위를 완성하지 못한 것이다.