야당동고2수학과외, 기울기와 접선의 조건을 먼저 확인하는 풀이
야당역을 이용해 귀가하는 학생과 학교·주거지 사이 이동 시간이 긴 학생은 풀이를 이어 가는 시간이 다를 수 있다. 그러나 미분 문제에서는 풀이 시간보다 먼저 기호가 뜻하는 대상을 구분해야 한다. 특히 f'(a)는 x=a에서의 순간변화율, 즉 접선의 기울기이지 접선의 방정식 자체가 아니다.
f'(2)=4만으로는 접선이 완성되지 않는다
함수 f(x)=x²의 x=2에서 접선을 구한다고 하자.
먼저 x=2가 함수의 정의역에 속하고, 다항함수이므로 그 점에서 미분 가능하다는 것을 확인한다.
f'(x)=2x이므로
f'(2)=4
이다. 여기서 4는 접선의 기울기다. 접선은 반드시 그래프 위의 점을 지나므로 접점도 계산해야 한다.
f(2)=4이므로 접점은 (2, 4)이고, 점-기울기 형태를 적용하면
y-4=4(x-2)
따라서 접선의 방정식은 y=4x-4이다.
기울기만 구하고 접점을 쓰지 않은 풀이
풀이 첫 줄에 “f'(2)=4”만 적은 경우, 미분 계산은 맞지만 문제에서 요구한 접선을 아직 구한 것이 아니다. 접선의 기울기와 접선의 위치를 연결하는 점이 빠졌기 때문이다. y=4x라고 적는 것도 기울기는 같지만, x=2일 때 y=8이 되어 그래프 위의 접점 (2, 4)를 지나지 않는다.
이때 답안에는 먼저 “f'(2)는 x=2에서의 접선의 기울기이고, 접선은 (2, f(2))를 지난다”라고 말한 뒤, 그 설명에 맞춰 한 줄을 추가한다.
f(2)=4, f'(2)=4 → y-4=4(x-2)
이 한 줄을 통해 변화율과 점의 역할을 각각 확인할 수 있다.
부호가 바뀌어도 같은 기준으로 접선을 세우기
새로운 함수 g(x)=-x²+6x-1에서 x=2인 점의 접선을 구한다.
g'(x)=-2x이므로 접선의 기울기는
g'(2)=-4
이다. 또
g(2)=-4+12-1=7
이므로 접점은 (2, 7)이다. 따라서
y-7=-4(x-2)
이고, 정리하면 y=-4x+15이다.
부호가 음수로 바뀌었을 때도 미분계수만 적고 끝내지 않고, 접점의 좌표와 점-기울기 식을 함께 사용했는지 확인한다. x=2를 대입하면 우변과 좌변 모두 7이므로 접점을 지나며, 기울기는 -4로 미분계수와 일치한다.