야당동 고3 수학과외: 방향벡터와 법선벡터를 구분하는 공간도형 풀이
야당역 생활권에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 학생은 같은 고3 수학 공부라도 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 야당동의 한빛고등학교 학생 사례에서는 짧은 시간에 문제의 조건을 분류하고, 계산 전에 벡터 관계를 확인하는 방식으로 공간도형 오답을 고쳤다.
직선과 평면의 관계를 판단하기 전 확인할 것
직선의 방향은 방향벡터로 나타내고, 평면의 기울기와 수직인 방향은 법선벡터로 나타낸다. 따라서 직선이 평면과 평행하려면 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터의 내적이 0이어야 한다.
직선의 방향벡터를 u, 평면의 법선벡터를 n이라 하면
직선이 평면과 평행할 조건은 u·n=0이다.
예를 들어 직선
l : (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, -1, 3)
과 평면
π : 2x - y + z = 5
의 관계를 판단한다고 하자. 직선의 방향벡터는 u=(2,-1,3)이고, 평면의 법선벡터는 n=(2,-1,1)이다.
내적을 생략한 첫 풀이의 오류
학생은 평면의 식에서 법선벡터를 찾은 뒤에도 직선의 방향벡터와 비교하지 않고 다음처럼 적었다.
직선의 방향벡터는 (2,-1,3), 평면의 법선벡터는 (2,-1,1)이다.
두 벡터의 앞의 두 성분이 같으므로 직선은 평면과 평행하다.
이 풀이는 오답이다. 벡터의 일부 성분이 같다는 사실만으로 평행 여부를 판단할 수 없으며, 직선의 방향벡터가 평면에 놓인 방향인지 확인하려면 법선벡터와의 내적을 계산해야 한다.
실제로
u·n = 2×2 + (-1)×(-1) + 3×1 = 4+1+3=8
이므로 0이 아니다. 따라서 직선은 평면과 평행하지 않다. 직선과 평면이 만나는지 확인하려면 직선의 매개변수를 평면에 대입한다.
2(1+2t) - (2-t) + 3t = 5
2+4t-2+t+3t=5
8t=5
t=5/8
따라서 직선은 평면과 한 점에서 만난다. 교점은
(1+2×5/8, 2-5/8, 3×5/8) = (9/4, 11/8, 15/8)
이다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 연결하기
재풀이에서는 ‘앞의 두 성분이 같으므로 평행하다’라는 줄에 표시를 하고, 다음 순서로 수정했다.
- 틀린 줄 표시: 일부 성분의 일치만으로 평행하다고 판단한 부분을 삭제한다.
- 조건 확인: 직선의 방향벡터는 (2,-1,3), 평면의 법선벡터는 (2,-1,1)임을 분리해 적는다.
- 식 수정: (2,-1,3)·(2,-1,1)=8을 계산한다.
- 원조건 대입: 내적이 0이 아니므로 평행이 아님을 확인한다.
- 역검산: 직선식을 평면에 대입해 t=5/8이 실제로 성립하는지 다시 계산한다.
이 과정을 거치면 방향벡터와 법선벡터를 같은 종류의 벡터처럼 다루는 실수를 막을 수 있다. 특히 조건이 충분한지 먼저 판단해야 한다. 방향벡터와 법선벡터가 주어졌다면 내적으로 평행 여부를 판단할 수 있지만, 직선 위의 한 점과 평면의 위치까지 확인하지 않으면 직선이 평면 위에 놓이는지까지는 결정할 수 없다.
벡터를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 새로운 조건에 적용해 보았다.
직선
m : (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(1, 2, -1)
과 평면
σ : x + y + 3z = 7
을 생각하면 방향벡터와 법선벡터는 각각
v=(1,2,-1), n=(1,1,3)
이다. 내적은
v·n = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 1+2-3=0
이므로 직선은 평면과 평행하거나 평면 위에 있다. 직선 위의 점 (0,1,2)를 평면에 대입하면
0+1+3×2=7
이므로 이 점은 평면 위에 있다. 따라서 직선 전체가 평면 σ 위에 놓인다.
이번에는 방향벡터와 법선벡터가 달라져도 ‘내적이 0인지 확인한 뒤, 직선 위 한 점을 평면에 대입한다’는 기준으로 독립적으로 해결했다. 계산보다 먼저 벡터의 역할과 주어진 조건의 충분성을 구분하는 것이 이 단원의 핵심이다.