야당동고1수학과외: 유리식 약분 뒤 사라진 정의역 값의 유지
야당역을 중심으로 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 야당동에서는 같은 고1 수학 문제를 풀더라도 귀가 후 확보되는 시간이 학생마다 다를 수 있다. 한빛고등학교 프린트의 유리함수 문제를 짧게 복습할 때도 계산 결과만 적기보다, 약분 전 분모가 제한한 값을 끝까지 보존하는 과정이 필요하다.
약분한 뒤에도 남아 있는 제외값
다음 함수의 정의역을 구해 보자.
f(x) = (x2 - 9)/(x2 - 3x)
분자와 분모를 인수분해하면
f(x) = (x - 3)(x + 3) / x(x - 3)
약분하면 f(x) = (x + 3)/x처럼 보이지만, 원래 분모는 x(x - 3)였으므로 x = 0, 3에서는 식이 정의되지 않는다. 따라서 약분 후의 식만 보고 정의역을 x ≠ 0이라고 쓰면 안 되며, 정확한 정의역은 x ≠ 0, 3이다.
답은 맞아 보여도 빠진 값이 생긴 풀이
학생의 풀이에는 약분 전 분모의 제외값을 따로 적은 흔적이 없었다.
(x2 - 9)/(x2 - 3x) = (x + 3)/x, 따라서 정의역은 x ≠ 0
이 식에서 x = 3을 대입하면 약분한 식의 값은 6이지만, 원래 함수에서는 분모가 32 - 3·3 = 0이므로 함수값을 정할 수 없다. 약분은 식을 변형하는 과정이지, 원래 식에서 금지된 값을 허용하는 과정이 아니다.
풀이 첫 줄에 제한조건을 고정하기
이 유형에서는 약분하기 전에 원래 분모만 먼저 확인한다.
- x2 - 3x = x(x - 3)
- x = 0 또는 x = 3에서는 분모가 0
- 따라서 x ≠ 0, 3을 여백에 적는다.
- 그 뒤 (x - 3)을 약분한다.
오답노트에는 긴 해설 대신 “약분 전 분모의 제외값을 먼저 기록”이라는 바뀐 행동 한 가지를 남긴다. 이후 f(3)을 직접 확인하면 약분한 식에서는 값이 계산되더라도 원래 함수에서는 정의되지 않는다는 사실을 검산할 수 있다.
구멍과 점근선을 구별하는 확인
위 함수에서 x = 3은 약분으로 사라진 인수와 관련된 제외값이다. 반면 x = 0은 약분되지 않은 분모에 남아 있으므로 그래프의 수직점근선이 될 수 있다. 두 값을 모두 정의역에서 제외하되, 약분된 인수에서 나온 값과 끝까지 남은 분모의 값이 그래프에서 같은 방식으로 나타나는 것은 아니다.
표의 단위가 바뀌어도 조건을 보존하는가
새로운 조건에서 풀이 행동을 확인할 때는 유리함수 문제만 반복하지 않는다. 예를 들어 표의 길이 단위가 미터에서 센티미터로 바뀌어 2.4m = 240cm로 표시되었다면, 단위를 바꾸는 연산이 표의 관련 값에 일관되게 적용되었는지 설명하게 한다. 방정식 3x + 2 = 11을 풀 때도 ‘이항’이라는 말만 쓰지 않고, 양변에서 2를 빼서 3x = 9가 되었음을 말해야 한다.
이 확인에서 약분 전 제한값을 먼저 기록하는지, 조건을 바꾼 뒤에도 양변에 같은 연산을 적용했는지 살핀다. 계산 답만 맞힌 것이 아니라 식의 조건을 보존하는 행동으로 풀이가 바뀌었는지가 판단 기준이다.