접점의 x좌표가 바뀌면 직선식도 달라진다
동패동고2수학과외에서 접선 문제를 다시 풀 때 자주 확인하는 장면이 있다. 학생이 도함수 계산은 수정했지만, 여백에 접선식을 정리하면서 접점의 x좌표를 나타내는 x-a를 무심코 x+a로 바꾸는 것이다. 동패고등학교처럼 학교 과제와 지필평가를 함께 준비해야 하는 상황에서는 이 한 줄의 부호가 최종 답을 바꾼다.
미분계수와 접점 좌표를 따로 기록하기
함수 f(x)=x2-4x+5의 그래프 위 점 (3,2)에서 접선의 방정식을 구해 보자.
먼저 도함수는
f'(x)=2x-4
이므로 접점에서의 기울기는
f'(3)=2
이다. 접선 공식은 접점 (a,f(a))와 기울기 f'(a)를 이용한
y-f(a)=f'(a)(x-a)
이다. 따라서 a=3, f(3)=2를 넣으면
y-2=2(x-3)
y=2x-4
가 된다.
그런데 학생의 여백에는 y-2=2(x+3)이 적혀 있었다. 이는 접점의 x좌표가 3일 때 기준점으로부터의 가로 변화량을 x-3으로 써야 한다는 관계를 놓친 오류다. 이 식은 정리하면 y=2x+4이고, x=3일 때 y=10이 되어 접점 (3,2)를 지나지 않는다.
계산 줄에서 미분 오류와 부호 오류를 분리하기
접선 문제를 재풀이할 때는 다음 세 줄을 반드시 나누어 적는다.
f'(x)=도함수 계산f'(a)=접점에서의 기울기y-f(a)=f'(a)(x-a)접선의 기본식
예를 들어 g(x)=x3-3x+1의 x=1에서 접선을 구하면
g'(x)=3x2-3, g'(1)=0, g(1)=-1
이므로
y+1=0(x-1), 즉 y=-1이다.
여기서 기울기가 0인 이유와 접선식의 x-1을 각각 확인해야 한다. 도함수 계산 줄을 지나친 채 마지막 직선식만 고치면, 새로운 함수에서 같은 오류가 다시 나타난다.
숫자 하나를 바꾼 미니문제로 바로 재현하기
수정 행동은 다음 문제에서 확인한다.
h(x)=x2+2x의 그래프 위 점 (2,8)에서 접선의 방정식을 구하라.
답안에는 먼저
h'(x)=2x+2, h'(2)=6
을 적고, 접선식에서 접점의 x좌표를 확인하며
y-8=6(x-2)
로 써야 한다. x+2가 아니라 x-2인지를 표시한 뒤 정리하면
y=6x-4
이다. 마지막으로 x=2를 대입해 y=8이 나오는지 확인한다.
정답에서 풀이 근거를 거꾸로 복원하기
새 문제의 정답이 y=4x-1이라면, 이 직선의 근거를 역으로 복원하게 한다. 기울기는 4이므로 접점에서의 도함수값이 4여야 하고, 직선 위의 접점은 원래 함수 그래프에도 있어야 한다. 복원 과정에서 y-f(a)=f'(a)(x-a)의 x-a를 다시 확인하고, 접점 대입까지 통과해야 접선식을 제대로 적용한 것으로 판단한다.