동패동 고3 수학과외, 평면의 상수항에서 멈춘 첫 오답 찾기
동패동에서 동패고등학교로 통학하며 고등학교 수학의 긴 풀이와 과제를 함께 감당하는 학생은 계산량보다 조건을 연결하는 과정에서 자주 막힌다. 같은 파주시의 지산고등학교, 한빛고등학교, 한민고등학교, 교하고등학교는 참고 학교이며 동패동 소재 학교로 단정하지 않고, 여기서는 공간도형·벡터 문제에서 학생이 실제로 보인 풀이 흐름을 살펴본다.
법선벡터는 맞았지만 상수항에서 조건을 놓친 풀이
다음 두 평면의 관계를 판단하는 문제를 풀었다.
평면 \(P: x-2y+z=4\),
평면 \(Q: 2x-4y+2z=\lambda\)
학생은 법선벡터를 다음과 같이 적었다.
\(\vec n_P=(1,-2,1)\), \(\vec n_Q=(2,-4,2)=2\vec n_P\)
여기까지는 정확했다. 그러나 다음 줄에서
\(Q\)의 계수는 \(P\)의 두 배이므로 \(\lambda=4\)이다.
라고 판단했다. 이 식은 틀렸다. 평면 방정식 전체가 두 배가 되어야 하므로 \(P\)의 식에 2를 곱하면
\(2(x-2y+z)=2\cdot4\)
\(\therefore 2x-4y+2z=8\)
이다. 따라서 두 평면이 일치하는 조건은 \(\lambda=8\)이고, \(\lambda\ne8\)이면 법선벡터는 평행하지만 상수항이 달라 서로 다른 평행평면이다.
틀린 줄을 표시하고 원래 식으로 되돌린 검산
학생의 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 먼저 틀린 줄에 표시를 하게 했다.
- 오류 줄: \(\lambda=4\)
- 확인할 관계: 계수뿐 아니라 평면 방정식의 모든 항이 같은 비율로 변하는가?
- 수정: \((1,-2,1)\)을 2배로 만들었으므로 우변 \(4\)도 2배인 \(8\)이 되어야 한다.
- 역검산: \(\lambda=8\)을 \(Q\)에 대입하면 \(2x-4y+2z=8\), 양변을 2로 나누어 \(P\)와 같아진다.
\(\lambda=4\)를 대입하면 \(2x-4y+2z=4\), 즉 \(x-2y+z=2\)가 된다. 이는 \(P\)의 \(x-2y+z=4\)와 다르므로 두 평면은 일치하지 않는다. 같은 법선벡터를 가졌지만 상수항 조건을 확인하지 않아 잘못된 후보를 포함한 것이다.
표현을 바꾼 독립 검증: 꼬인 위치 판정
같은 평면 문제를 반복하지 않고 두 직선의 관계를 새로 확인했다.
\[ \ell_1:(x,y,z)=(1,0,2)+s(1,1,0) \] \[ \ell_2:(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,0,1) \]
방향벡터는 \(\vec u=(1,1,0)\), \(\vec v=(1,0,1)\)이므로
\[ \vec u\times\vec v=(1,-1,-1) \]
두 직선이 한 평면에 놓이려면 \(\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\)과 외적의 내적이 0이어야 한다. 하지만
\[ \overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times\vec v) =(-1,1,-1)\cdot(1,-1,-1) =-1-1+1=-1\ne0 \]
이므로 두 직선은 같은 평면에 있지 않다. 실제 교점도 확인하면 \(y\)좌표에서 \(s=1\), \(x\)좌표에서 \(t=2\), \(z\)좌표에서는 \(t=1\)이 되어 모순이다. 따라서 두 직선은 꼬인 위치이다.
이처럼 법선벡터나 방향벡터가 평행한지만 보고 결론을 내리지 않고, 상수항·좌표식·내적 조건까지 원래 관계로 되돌려 확인하는 습관이 공간벡터 오답을 줄인다.