동패동고1수학과외, 유리함수 치역에서 수평점근선 값을 제외하는 이유
동패고등학교 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 풀이를 빠르게 끝내려다 유리함수의 치역 조건을 빠뜨리기 쉽다. 동패동고1수학과외 학습에서는 계산 결과뿐 아니라, 함수가 실제로 가질 수 없는 값까지 확인하는 과정을 분리해 기록한다.
계산은 끝났지만 치역이 완성되지 않은 풀이
다음 함수의 치역을 구해 보자.
y = (2x+1)/(x-3)
학생은 분자를 y에 곱해 y(x-3)=2x+1로 정리한 뒤, x(y-2)=3y+1을 얻었다. 따라서 x=(3y+1)/(y-2)라고 쓰고 치역을 모든 실수로 적었다.
여기서 계산식 자체는 유효하지만 분모 y-2가 0이 되면 x를 나타낼 수 없다. 즉 y=2는 치역에서 제외해야 한다. 실제 치역은 {y∈ℝ | y≠2}이다.
수평점근선이 치역에서 빠지는 구조
주어진 함수를 변형하면 관계가 더 분명해진다.
y = (2x+1)/(x-3) = 2 + 7/(x-3)
정의역에서는 x≠3이고, 분수항 7/(x-3)은 0이 될 수 없다. 따라서 전체 함수값은 항상 2가 아닌 값이다. 이때 수평점근선은 y=2이며, 그래프가 가까워질 수는 있지만 실제로 y=2를 갖지는 않는다.
학생의 누락은 계산 오류가 아니라 ‘치역에서 제외할 값을 확인하지 않은 조건 점검 오류’에 해당한다. 정답만 고치는 대신, y=2가 빠져야 하는 줄에 표시하고 그 지점부터 풀이를 다시 작성해야 한다.
빠진 줄부터 다시 쓰는 수정 방식
수정할 때는 다음 연결을 남긴다.
- y=2+7/(x-3)
- 7/(x-3)≠0이므로 y-2≠0
- 따라서 y≠2
- 치역은 ℝ\{2}
이처럼 수평점근선의 값이 왜 제외되는지 식으로 설명하면, 단순히 답지의 치역을 옮겨 적는 것과 구별된다. 특히 x≠3은 정의역에서 제외되는 값이고, y≠2는 치역에서 제외되는 값이므로 두 조건을 섞지 않아야 한다.
새 식에서 오류 유형을 가려내기
다음 문제에서는 풀이를 마친 뒤 오류 원인을 네 범주 중 하나로 표시한다.
f(x)=(5x-4)/(x+2)의 치역을 구하면
f(x)=5-14/(x+2)이므로 분수항은 0이 될 수 없다. 따라서 수평점근선 y=5를 제외하여 치역은 ℝ\{5}이다.
- 수평점근선 값을 떠올리지 못했다면 개념 오류
- 치역에서 제외해야 할 조건을 빠뜨렸다면 조건 오류
- 식 변형 중 부호나 계수를 잘못 계산했다면 계산 오류
- 치역을 구간이나 집합으로 잘못 적었다면 표현 오류
표현이 달라져도 같은 성질을 찾는 확인
마지막에는 같은 식을 반복하지 않고, 조건의 배열과 제시 방식을 바꾼 문제를 사용한다. 예를 들어
g(x)=(-3x+8)/(x-4)
를 먼저 g(x)=-3-4/(x-4)로 바꾸고, 분수항이 0이 될 수 없다는 근거로 y=-3을 치역에서 제외하게 한다. 이때 학생이 계산만 하는지, 수평점근선의 값과 치역 제외 조건을 스스로 찾아 표시하는지 확인한다.
동패고등학교 통학 후 짧은 시간에 풀이하더라도 마지막 줄의 치역 조건을 생략하지 않는다면, 유리함수의 표현이 달라져도 같은 구조를 적용할 수 있다.