접선 문제에서 기울기만 구하고 풀이를 끝내면 답이 완성되지 않는다. 금촌동고2수학과외 학습 기록에서도 학생은 변형된 접선 문제를 만났을 때 도함수 계산은 수행했지만, 접선이 지나가는 점을 다시 연결하지 않았다. 파주시 통학권 학교의 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려하더라도, 이 유형은 짧은 식을 끝까지 정확히 완성하는 연습이 우선이다.
f'(2)=4 다음에 반드시 써야 할 점
함수 f(x)=x2+1에서 x=2일 때 접선의 방정식을 구해 보자.
먼저
f'(x)=2x, 따라서 f'(2)=4
이다. 여기서 4는 접선의 기울기일 뿐이다. 접점의 좌표도 계산해야 한다.
f(2)=22+1=5이므로 접점은 (2, 5)이다. 따라서 점-기울기식에 대입하면
y-5=4(x-2)
즉,
y=4x-3
이다.
학생의 답안에는 f'(2)=4까지만 적힌 뒤 접선의 식이 생략되어 있었다. 또는 이를 급하게 이어 y=4x라고 적었다면, 기울기는 맞지만 접점 (2,5)를 지나지 않는다. 실제로 4×2=8이므로 (2,5)와 불일치한다.
조건·계산·검산을 나누어 접선식을 완성하기
변형문제를 풀 때 답안을 세 칸으로 나누어 오류가 발생한 위치를 표시한다.
- 조건: 접점의 x좌표가 2이므로 점은 (2,f(2))=(2,5)
- 계산: f'(2)=4이므로 기울기는 4
- 검산: 완성한 식 y=4x-3에 x=2를 넣어 y=5인지 확인
이렇게 하면 도함수만 계산하고 접선의 지점을 빠뜨린 경우에는 조건 칸을, 기울기를 잘못 구한 경우에는 계산 칸을, 식은 세웠지만 접점을 통과하지 않는 경우에는 검산 칸을 다시 쓸 수 있다.
부호가 바뀐 접선에서 점과 기울기 다시 연결하기
다음 문제에서는 이전 식을 복사하지 않고 같은 판단을 새로 세워야 한다.
g(x)=-x2+6x-1에서 x=1인 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.
접점은
g(1)=-1+6-1=4이므로 (1,4)이다.
도함수와 접선의 기울기는
g'(x)=-2x+6, g'(1)=4
이다. 따라서
y-4=4(x-1)
이므로
y=4x
이다.
이번에는 우연히 결과가 y=4x가 되었지만, 앞 문제에서의 잘못된 식과 달리 접점 (1,4)를 실제로 지나므로 올바른 답이다. 마지막으로 x=1을 대입해 y=4가 되는지 확인한다.
또한 함수의 구간이 [1,3]이라면 x=1의 접점은 포함되지만, 구간이 (1,3]이라면 그 끝점은 포함되지 않는다. 접선의 식을 구한 뒤에도 문제에 제시된 구간의 열린점과 닫힌점을 구분해야 한다.